基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1.(2016·西安八校联考)观察一列算式：1?1，1?2，2?1，1?3，2?2，3?1，1?4， 2?3，3?2，4?1，…，则式子3?5是第________项.
解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3?5为和为8的第3项，所以为第24项. ★答案★ 24
2.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________. 解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x). ★答案★ －g(x)
1
3.在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的3”.拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________.
解析 设正三角形的边长为a，高为h，内切圆半径为r，由等面积法知3ar＝1
ah，所以r＝3h；
1
同理，由等体积法知4SR＝HS，所以R＝4H. 1
★答案★ 4 4.下列推理是归纳推理的是________.
①A，B为定点，动点P满足PA＋PB＝2a>AB，则P点的轨迹为椭圆； ②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式； x2y2
③由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆a2＋b2＝1的面积S＝πab；
2
2
2
2
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.
解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理.
★答案★ ②
5.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于________. 解析 观察规律，归纳推理.
从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123. ★答案★ 123
6.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 解析 进行分组
○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝＝119，f(15)＝135，故n＝14. ★答案★ 14
7.(2016·徐州检测)观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n个等式为________.
解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23＋…＋n3＝?n（n＋1）?2n2（n＋1）2??＝.
42??
n2（n＋1）2
★答案★ 1＋2＋…＋n＝ 4
3
3
3
n（n＋3）
，易知f(14)2
8.(2016·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …
则第30行从左到右第3个数是________.
解析 先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数.观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×（2＋60）
－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3
2个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051. ★答案★ 1 051 二、解答题
9.给出下面的数表序列： 表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12 …
其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明). 解 表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列.
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列. 10.f(x)＝
1
，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想
3x＋3
一般性结论，并给出证明. 解 f(0)＋f(1)＝
11
＋ 30＋331＋3
11313＝＋＝＋＝， 1＋33（1＋3）3（1＋3）3（1＋3）333同理可得f(－1)＋f(2)＝3，f(－2)＋f(3)＝3. 3
由此猜想f(x)＋f(1－x)＝3. 证明f(x)＋f(1－x)＝
11
＋
3x＋331－x＋3
13x13x
＝x＋＝＋ 3＋33＋3·3x3x＋33（3＋3x）3＋3x3＝＝.
3（3＋3x）3
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)＝________. 解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；nn（n＋1）n2＋n＋2
条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个
22区域.
n2＋n＋2
★答案★
2
12.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其
称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是________(填序号). ①289；②1 024；③1 225；④1 378.
解析 观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3， …an＝an－1＋n.
∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)?an＝1＋2＋3＋…n（n＋1）＋n＝，
2
观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225. ★答案★ ③
13.(2016·南通测试)已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上ax1＋ax2x1＋x2方，因此有结论＞a2成立.运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin
2x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立.
解析 对于函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点A，B，依据图象可知，线x1＋x2
ax1＋ax2
段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a2
2成立；对于函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上任意不同的两点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方， sin x1＋sin x2x1＋x2
类比可知应有＜sin 2成立.
2★答案★
sin x1＋sin x2x1＋x2
＜sin 22
111
14.在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：AD2＝AB2＋AC2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 证明 如图所示，由射影定理，得
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