概率论与数理统计试题库及答案（考试必做）

示所得号码之和，求E(X),D(X)。

24．设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=?求：① 常数k， ② E?XY?及D(XY).

?k,0?x?1,0?y?x

其他?0,25．设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

26．一系统是由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95？

27．甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。

228．设总体X服从正态分布，又设X与S分别为样本均值和样本方差，又设

且Xn?1与X1,X2,???,Xn相互独立，求统计量 Xn?1?N(?,?2)，

Xn?1?XSn的分布。 n?129．在天平上重复称量一重为?的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，为使PXn?a?0.1?0.95成立，N(?,0.22)，

求n的最小值应不小于的自然数？

30．证明题 设A，B是两个事件，满足P(BA)?P(BA)，证明事件A，B相互独立。 31．证明题 设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y?1?e从均匀分布。

?2X??在区间（0，1）上服

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<数理统计>试题A

一、填空题

21．设X1,X2,?,X16 是来自总体X~N(4,?2) 的简单随机样本，?已知，令

4X?16116服从分布为 （必须写出分布的参数）。 X??Xi，则统计量

16i?1?2．设X~N(?,?2)，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X中抽取的样本，则?的矩估计值为 。

3．设X~U[a,1]，X1,?,Xn是从总体X中抽取的样本，求a的矩估计为 。 4．已知F0.1(8,20)?2，则F0.9(20,8)? 。

?和??是比??都是参数a的无偏估计，如果有 成立 ，则称??有效的估计。5．?

6．设样本的频数分布为

X 0 1 2 3 4 频数 1 3 2 1 2

则样本方差s2=_____________________。

7．设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，?，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D（X）＝________________________。

8．设总体X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ未知，X1，X2，?，Xn为其样本。若假设

检验问题为H0：?2＝1?H1：?2?1，则采用的检验统计量应________________。 9．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, ?，xn）落

入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。

10．设样本X1，X2，?，Xn来自正态总体N（μ，1），假设检验问题为： H0：?＝0?H1：??0，则在H0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W应为______________________。

10

计算题

1.已知某随机变量X服从参数为?的指数分布，设X1,X2,?,Xn是子样观察值，求?的极大似然估计和矩估计。（10分）

2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从N(?,0.06)，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（??0.05，Z0.05?1.645，Z0.025?1.96）（8分）

3.某包装机包装物品重量服从正态分布N(?,42)。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为x?900，样本均方差为S?2，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有

22变化？（??0.05）（?0（8分） )?6.262，?0（15）?27.488）.975(15.0252?(??1)x?0?x?14.设某随机变量X的密度函数为f(x)?? 求?的极大似然估计。

其他?0（6分）

5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为

?2?0.04，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对??0.05求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）(Z0.05?1.645,Z0.025?1.96)

<概率论>试题A参考答案

一、填空题

1． （1） A?B?C （2） ABC?ABC?ABC

（3） BC?AC?AB 或 ABC?ABC?ABC?ABC

2． 0.7， 3．3/7 ， 4．4/7! = 1/1260 ， 5．0.75， 6． 1/5，

11

7．a?1，b?1/2， 8．0.2， 9．2/3， 10．4/5， 11．5/7， 12．F(b,c)-F(a,c)， 13．F (a,b)， 14．1/2， 15．1.16， 16．7.4， 17．1/2， 18．46， 19．85 20．N(?,?2n),N(0,1),N(?,?2n),N(0,1)； 21．?2??2， 22，1/8 ，

??2?23．?=7，S=2 ， 24．N??,?，

n??2

二、选择题

1．A 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10 ．C 11．C 12．A 13．C 14．C 1 5．B 16．B 17．C 18．B 19．A 20 ．C 21．C 22．B 23．A 24．B 25．C

三、解答题

1. 8/15 ；

2. （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21; 3. （1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72; 4. 0.92;

5. 取出产品是B厂生产的可能性大。 6. m/(m+k);

7.（1）P{X?K}?(3/13)（2）

k?1(10/13)

3 4 X 1 2 ?1xe,x?0?1?2?18. （1）A＝1/2 ， （2）(1?e) ， （3）F(x)??

12?1?ex,x?0??212