专题七 圆的综合
毕节中考备考攻略
纵观近5年毕节中考数学试卷,圆的综合考查在每年的第26题出现,主要呈现等腰三角形模型、垂径定理模型和直角三角形模型,其中2014年第26题属于直角三角形模型；2015年第26题属于等腰三角形模型；2016年第26题属于直角三角形模型和等腰三角形模型；2017年第26题属于直角三角形模型和垂径定理模型；2018年第26题属于等腰三角形模型和直角三角形模型,切线的判定为必考考点,2019年第26题将继续考查.
解决圆的综合问题的几个要点：
(1)已知圆周角或者圆心角的度数或等量关系,找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角； (2)已知直径,找直径所对的圆周角；
(3)已知切线或证明相切关系,连接过切点的半径；
(4)已知“弦的中点”和“弧的中点”,连接中点和圆心,利用垂径定理的推论得出相关结果； (5)圆心是直径的中点,考虑中位线；
(6)同圆的半径相等,连接两条半径,考虑等腰三角形的性质；圆内的等腰三角形,计算线段长,考虑垂径定理； (7)角平分线、平行、等腰中“知二得一”.
中考重难点突破
垂径定理模型
例1 (2018·郴州中考)已知BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上一点,AB＝AD,AE是⊙O的弦,∠AEC＝30°.
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC,垂足为点M,⊙O的半径为4,求AE的长.
【解析】(1)先得出∠ABC＝30°,进而求出∠OAB＝30°,∠BAD＝120°,结论得证； (2)先求出∠AOC＝60°,用三角函数求出AM,再用垂径定理即可得出结果. 【答案】(1)证明：连接OA. ∵∠AEC＝30°,∴∠ABC＝30°. ∵AB＝AD,
∴∠D＝∠ABC＝30°.
根据三角形的内角和定理得,∠BAD＝120°. ∵OA＝OB,∴∠OAB＝∠ABC＝30°, ∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°, ∴OA⊥AD. ∵点A在⊙O上, ∴直线AD是⊙O的切线；
(2)解：∵∠AEC＝30°,∴∠AOC＝60°.
1
∵BC⊥AE于点M,∴AE＝2AM,∠OMA＝90°. 在Rt△AOM中,
AM＝OA·sin ∠AOM＝4×sin 60°＝23, ∴AE＝2AM＝43.
等腰三角形模型
︵︵
例2 (2018·永州中考)如图,线段AB为⊙O的直径,点C,E在⊙O上,BC＝CE,CD⊥AB,垂足为点D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.
(1)求证：CF＝BF；
4
(2)若cos ∠ABE＝,在AB的延长线上取一点M,使BM＝4,⊙O的半径为6.求证：直线CM是⊙O的切线.【解
5︵︵︵︵
析】(1)延长CD交⊙O于点G,如图,利用垂径定理得到BC＝BG,则可证明CE＝BG,然后根据圆周角定理得∠CBE＝∠GCB,从而得到CF＝BF；
(2)连接OC交BE于点H,如图,先利用垂径定理得到OC⊥BE,再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH＝2418
,OH＝,接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM＝∠OHB＝90°,然后根据切线的判定定理得到结论. 55
【答案】证明：(1)延长CD交⊙O于点G. ︵︵
∵CD⊥AB,∴BC＝BG. ︵︵︵︵∵BC＝CE,∴CE＝BG, ∴∠CBE＝∠GCB,∴CF＝BF； (2)连接OC交BE于点H,如图. ︵︵
∵BC＝CE,∴OC⊥BE.
BH4424
在Rt△OBH中,cos ∠OBH＝＝,∴BH＝×6＝,∴OH＝
OB55518
OH53OB63OHOB∵＝＝,＝＝,∴＝. OC65OM6＋45OCOM又∵∠HOB＝∠COM,∴△OHB∽△OCM,
2
?24?186－??＝.
5?5?
2
2
∴∠OCM＝∠OHB＝90°,∴OC⊥CM, ∴直线CM是⊙O的切线.
1.(2018·宿迁中考)如图,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若∠ABC＝60°,AB＝10,求线段CF的长. (1)证明：连接OC. ∵OD⊥AC,OD经过圆心O, ∴AD＝CD,∴PA＝PC. 在△OAP和△OCP中, OA＝OC，??
?PA＝PC， ??OP＝OP，
∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP＝∠OAP. ∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP＝90°. ∴∠OCP＝90°,即OC⊥PC, ∴PC是⊙O的切线；
(2)解：∵AB是直径,∴∠ACB＝90°.
∵∠ABC＝60°,∴∠CAB＝30°,∴∠COF＝60°. ∵PC是⊙O的切线,AB＝10, 1
∴OC⊥PF,OC＝OB＝AB＝5,
2∴CF＝OC·tan ∠COF＝53.
2.(2018·白银中考)如图,在△ABC中,∠ABC＝90°.
(1)作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作⊙O；(要求：不写作法,保留作图痕迹) (2)判断(1)中AC与⊙O的位置关系,直接写出结果. 解：(1)如图；
3
(2)相切.过点O作OD⊥AC于点D. ∵CO平分∠ACB,
∴OB＝OD,即圆心O到直线AC的距离d＝r,
∴⊙O与直线AC相切.3.(2018·玉林中考)如图,在△ABC中,以AB为直径作⊙O交BC于点D,∠DAC＝∠B.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
1
(2)点E是AB上一点,若∠BCE＝∠B,tan ∠B＝,⊙O的半径是4,求EC的长.
2(1)证明：∵AB是直径,
∴∠ADB＝90°,∴∠B＋∠BAD＝90°. ∵∠DAC＝∠B,∴∠DAC＋∠BAD＝90°, ∴∠BAC＝90°,∴AB⊥AC.又∵AB是直径, ∴AC是⊙O的切线；
(2)解：∵∠BCE＝∠B,∴EC＝EB. 设EC＝EB＝x.
AC1
在Rt△ABC中,tan ∠B＝＝,AB＝8,
AB2∴AC＝4.
在Rt△AEC中,EC＝AE＋AC, ∴x＝(8－x)＋4,解得x＝5, ∴EC＝5.
直角三角形模型
例3 (2018·聊城中考)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,⊙O是△BED的外接圆.
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2
22
2
2
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为2.5,BE＝4,求BC,AD的长.
【解析】(1)连接OE,由OB＝OE知∠OBE＝∠OEB,又由BE平分∠ABC知∠OBE＝∠CBE,据此得∠OEB＝∠CBE,从而得出OE∥BC,进一步即可得证；
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