结 构 动 力 学 基 础
1.1 无阻尼单自由度体系的自由振动
在研究振动问题时，为了简化计算，往往把具体的振动体系抽象为振动模型。结构发生运动时，确定其全部质量位置所需的独立几何参变量的数量，称为体系的自由度。单自由度体系的振动问题在工程上是常见的。例如，基础与地基之间的弹性支承（图1.1－1a），当只考虑铅直方向的振动时，就是单自由度体系的振动。又如，图1.1－1b所示的钢架，假定横梁为刚体，则在考虑横梁的水平振动时也属于单自由度体系的振动。这些单自由度体系，可以很方便地用图1.1－2所示的数学模型来描述，它包括下列单元：
(a) (b)
图1.1－1
(a) (b)
图1.1－2 单自由度体系数学模型的两种表示
（1） 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性； （2） 弹簧系数k，用来表示结构的弹性回复力和势能； （3） 阻尼器c，用来表示结构的摩擦特性和能量损耗；
（4） 激励荷载F?t?，用来表示作用于结构体系上的外力，力F?t?通常可写成时间函
1
数的形式。
利用牛顿运动第二定律F?ma或者达朗贝尔原理（该原理表明，把惯性力作为附加的虚拟力，可使体系处于动力平衡状态。）得到无阻尼单自由度体系的运动微分方程：
m y?? ?k y ? 0 （1.1-1）
令?2?k/m，运动微分方程式（1.1-1）成为：
y?? ??2 y ? 0 （1.1-2）
这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为：
y?c1cos?t?c2sin?t （1.1-3）
上式中c1，c2为积分常数，由物体运动的初始条件t?0时，y?y0， v?v0 来确定：
c1?y0， c2?v0/?，将c1和c2带入式（1.1-3），得到： 或等价写成：
y?y0co?st??v0/??sin?t （1.1-4）
y?Csin??t??? （1.1-5）
其中：
22y0??v0/??， tan???y0/v0 （1.1-6）
C?式（1.1-4）或（1.1-5）即为无阻尼单自由度体系的振动方程。 下面简述自由振动的特性。 1. 振幅和初位相
式（1.1-5）中C为自由振动的振幅；角（?t??）为相位，其中?为初相位。由（1. 1-6）式可知，自由振动的振幅和初位相与物体运动的起始条件?y0,v0?、物体的质量m和弹簧的刚度系数k有关。
2. 周期和频率
从式（1.1-4）或（1.1-5）可以看出，由该式所描述的运动是简谐运动，因此也是周期性运动，即可以用同一频率ω的正弦或余弦函数来表示。物体振动一次所需的时间称为周期，以T表示：
2
T?2???2?m/k （1.1-7）
周期T的常用单位是秒。每秒内物体振动的次数称为频率，以f表示，常用单位是赫兹（Hz）。频率与周期的关系为：
1?f??T2? （1.1-8）
由（1.1-8）式得：??2?f，可见，?是2?秒内振动的次数，称为圆频率，它的单位是弧度／秒（注：在一些书中常把圆频率的单位简写成为1／秒）。
从上述关系式可以看出，系统自由振动的周期、频率或圆频率与运动的起始条件无关，而只与体系的质量m和刚度系数k有关，即与体系的惯性及弹性有关。由于质量m和刚度系数k是振动体系本身所固有的特性，所以自由振动的圆频率ω也称为固有频率。如欲降低振动体系的固有频率，可减小弹簧的刚度系数或加大物体的质量。
1.2 有阻尼单自由度体系的自由振动
前面讨论的自由振动，其振幅始终不变，振动能持续进行而永不停止。但实际上这种情况是不存在的。因为体系振动时必然要受到阻力的影响，从而使它的振幅逐渐衰减，以致停止振动。
阻尼有各种不同的形式，例如，粘滞阻尼（空气、水或油质等流体介质的阻尼），干摩擦（物体于其它固体之间的摩擦）和材料的内摩擦等。这里我们只讨论粘滞阻尼，因为在许多情况下，粘滞阻尼的假定是真实的，然而，粘滞阻尼的假定却往往忽略了体系的实际耗散特性。这种方法之所以得到如此广泛应用，主要是因为它可以得到一种相对简单的数学分析方法。如果物体在流质介质中运动的速度不大，阻尼力近似地与速度的一次方成正比，这种阻尼称为线性阻尼。
假设把一结构体系简化为如图1.2－1所示的具有粘滞阻尼的简单振子，图中m和k分别为振子的质量和弹簧常数，c是粘滞阻尼系数。
运用牛顿定律或达朗贝尔原理得到有阻尼单自由度体系的运动微分方程：
my???cy??ky?0 （1.2-1）
3
(a) 粘滞阻尼振子 (b)隔离体简图
图1.2－1
2令??kc，2n?，则运动微分方程式（1.2-1）成为： mmy???2ny???2y?0 （1.2-2）
这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，设其解y?ert 代入上式可得特征方程：
r2?2nr??2?0 （1.2-3）
该二次方程的两个根是：
r1??n?r2??n?于是方程（1.2-2）的通解为：
r1t?n?n22??2??2r2t?
? （1.2-4）
y ? C1e?C2e （1.2-5）
随着n、ω值的不同，r1、r2也具有不同的值，因而方程（1.2-2）也有不同的解，表示着不同的运动，下面分别讨论。
1．n??，临界阻尼体系
这时，特征方程的根为两个相等的实根，r1?r2??n，方程（1.2-2）的通解为：
y ? e?nt?C1?C2t? （1.2-6）
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