第一章 计数原理
———基本计数原理和排列组合
一、 概念回顾：
（一）两个原理. 1. 加法原理
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即．．．．．．分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) ．．．．．2. 乘法原理
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这步才能完成此任务；各步计．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．n．．数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 ．．．．3. 可以有重复元素的排列. ．．．．．．．
从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数
m.m.m.....m?mn例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：mn种）
（二）排列组合 1、排列
（1）排列数的计算：
从n个不同元素中取出m(m?n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号（2）排列数公式：
mAn表示.
Am?n(n?1)?(n?m?1)?n!(m?n,n,m?N) 注意：n?n!?(n?1)!?n! 规定0!?1
(n?m)!注：含有可重元素的排列问题 ．．．．．．
...nk，且对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1,a2,...,an其中限重复数为n1、n2、n?n1?n2?...nk , 则S的排列个数等于n?n!.
n1!n2!...nk!例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n?(1?2)!?3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数n?3!?1.
3!1!2!2、组合
（1）组合数的计算：
从n个不同的元素中任取m(m?n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号Cn表示。
0nAmn(n?1)?(n?m?1)n!mC?C（2）排列数公式：：C?n? 规定C?nn?1 nmAmm!m!(n?m)!mnm（3）两个公式：①Cnmn?mm?1mm?Cn?Cn?Cn ②Cn?1
二、基础训练：
1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） （A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个
2．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ） （A）12种 （B）18种 （C）24种 （D）96种
3．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ）
（A）6种 （B）9种 （C）18种 （D）24种
4．由0，l，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为 （ ）（A） l：l （B）2：3 （C） 12：13 （D） 21：23
5．由0，l，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 （ ） （A）42031 （B）42103 （C）42130 （D）43021
6．若直线方程Ax?By?0的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是 （ ） （A）A5一2 （B）A5 （C）A5+2 （D）A5－2A522221
7．从a,b,c,d,e这五个元素中任取四个排成一列，b不排在第二的不同排法有（ ） （A）A4A5 （B）A3A3 （C）A5 （D）A4A4 8. 6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法．
9. 6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法．
10.五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种．
1312413三、解题方法及训练：
解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的
带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：
1、特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特
殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个（30个）
2、插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。
例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______ (答案:3600)
3、捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。
例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种（答案：240）
4、排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 排列组合应用题往往和数学其他章节
某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答时，要注意使用相关知识对答案进行取舍。
例如：从集合?0,1,2,3,5,7,11?中任取3个元素分别作为直线方程Ax?By?C?0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条（答案：30）
5、剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(m?n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m?1个结点剪成m段（插入m?1块隔板），有Cn?1种方法
m?1练一练：
例1 求不同的排法种数：
（1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻； （3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻． 解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：A2A7
（2）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：
27A66A72
827另法：用捆绑与剔除相结合：A8?A2A7
（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：A4A4A2 （4）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解: A4A4A2
431442高考题训练（一）：
一、选择题
1.（2009广东卷理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A.
2.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A．8 【答案】C
.w B．24 C．48 D．120
【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.
2和4排在末位时，共有种排法，
其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法， 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.故选C.
3．（2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A．324 B．328 C．360 D．648 【答案】B
【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个）， 当0不排在末位时，有（个），
于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.
4.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 （A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种 答案：C
解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为=6，故只恰好有1门相同的选法有24种 。
5.（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种
解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法;
(2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D
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