1.1.1正弦定理

众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

abc??师：这是个好主意。那么对等边三角形是否成立呢？ sinAsinBsinC生9：成立。

abc??师：对任意三角形是否成立，现在让我们借助于《几何sinAsinBsinC画板》做一个数学实验，??

【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的能力。

2、正弦定理的探究 （1）实验探究正弦定理

师：借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。

abc??结论：对于任意三角形都成立。 sinAsinBsinC【设计意图】通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

师：利用上述结论解决情境问题中图3的情形，并检验与生5的计算结果是否一致。

生10：（通过计算）与生5的结果相同。

师：如果上述结论成立，则在三角形中利用该结论解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。”的问题就简单多了。

【设计意图】与情境设置中的问题相呼应，间接给出了正弦定理的简单应用，并强化学生学习探究、应用正弦定理的心理需求。

（2）点明课题：正弦定理 （3）正弦定理的理论探究

师：既然是定理，则需要证明，请同学们与小组共同探究正弦定理的证明。 探究方案：

直角三角形——已验证； 锐角三角形——课堂探究； 钝角三角形——课后证明。

【设计意图】通过分析，确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形，有助于在不影响探究进程的同时，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。

师：请你（生11）到讲台上，讲讲你的证明思路？

生11：（走上讲台），设法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。通过作三角形的高，与生5的办法一样，如图5作BC边上的高AD，则AD?csinB?bsinC，所以 bcab??，同理可得 sinBsinCsinAsinBBcaAbCD图 5 锐角三角形师：因为要证明的是一个等式，所以应从锐角三角形的条件出发，构造等量关系从而达到证明的目的。注意： csinB?bsinC表示的几何意义是三角形同一边上的高不变。这是一个简捷的证明方法！

【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。

师：在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？ 学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②三角形外接圆直径不变。在教师的建议下，学生分别利用这两种关系作为基础又得出了如下两种证法：

证法二：如图6，设AD、BE、CF分别是?ABC的三条高。则有

AD?b?sin?ACB， BE?c?sin?BAC，

CF?a?sin?ABC。

111?S?ABC?a?b?sin?ACB?b?c?sin?BAC?c?a?sin?ABC

222abc?? ?Asin?BACsin?ABCsin?ACBBaD图 6 cFEbCA证法三：如图7，设BD?2r是?ABC外接圆的直径，则?BAD?90?，?ACB??ADB

cc???BD?2r sin?ACBsin?ADBab??2r 同理可证：

sin?BACsin?ABCabc??? sin?BACsin?ABCsin?ACBBcb

aC

图 7 三角形外接圆

D

【设计意图】在证明正弦定理的同时，将两边及其夹角的三角形面积公式

及

abc???2r一并牵出，使知识的产生自然合理。 sinAsinBsinC师：前面我们学习了平面向量，能否运用向量的方法证明呢？

????????????师：任意?ABC中，三个向量AB、BC、CA间有什么关系？

?????????????生12：AB?BC?CA?0

?????????????师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由AB?BC?CA?0转化成数量关系？

生13：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。

??????????????????????????师：在AB?BC?CA两边同乘以向量j,有(AB?BC?CA)?j?0,这里的向量??j可否任意？又如何选择向量j?

?生14：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑让向量j与三个向量中的一

????个向量（如向量BC）垂直，而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。

师：还是先研究锐角三角形的情形，按以上思路，请大家具体试一下，看还有什么问题？

教师参与学生的小组研究，同时引导学生注意两个向量的夹角，最后让学生通过小组代表作完成了如下证明。

?????证法四：如图8，设非零向量j与向量BC垂直。

?????????????因为AB?BC?CA?0，

?????????????所以(AB?BC?CA)?j?0 ??????????即AB?j?CA?j?0 B????????????????????|AB|?|j|?cos?AB,j??|CA|?|j|?cos?CA,j??0 ??c?|j|?cos(90??B)?b?|j|?cos(90??C)?0 ??c?|j|?(?sinB)?b?|j|?sinC?0

bcab??所以，同理可得 sinBsinCsinAsinBAc?jabC图 8 向量师：能否简化证法四的过程？（留有一定的时间给学生思考）

??????????师：AB?j?CA?j?0有什么几何意义？

????????????????????生15：把AB?j?CA?j?0移项可得CA?j?BA?j，由向量数量积的几何意?????????义可知CA与BA在j方向上的投影相等。

生16：我还有一种证法

师：请你到讲台来给大家讲一讲。（学生16上台板书自己的证明方法。）

????????证法五：如图9，作AD?BC，则AB与AC在

????????????????????AAD方向上的投影相等,即AB?AD?AC?AD

?????????????????|AB|?|AD|?cos(90??B)?|AC|?|AD|?cos(90??C)C ?c?sinB?b?sin

BcDa图 9 向量bC

故

bcab??，同理可得 sinBsinCsinAsinB师：利用向量在边上的高上的射影相等，证明了正弦定理，方法非常简捷明了！

【设计意图】利用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不容易马上想出来，教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发引导，将很难想到的方法合理分解，有利于学生理解接受。

（四）小结

师：本节课我们是从实际问题出发，通过猜想、实验，归纳等思维方法，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。本节课，我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，利用了几何画板进行数学实验。我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。

（五）作业

1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程； 2、思考：证法五与证法一有何联系？

3、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？ 4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。

【设计意图】为保证学生有充足的时间来完成观察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简单，这将在下一节课进行完善，因此作业的布置也为下节课做一些必要的准备。

七、教学反思

为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。我想到了“情境——问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境——问题”学习链，并根据上述精神，结合教学内容，具体做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（注：该情境源于《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修4）》（人教版）第二章习题2.5 B组第二题，我将其加工成一个具有实际意义的决策型问题）；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题4与5时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直