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华中农业大学本科课程考试
参考答案与评分标准
考试课程：概率论与数理统计 学年学期： 试卷类型：B 考试日期：
一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其字母代号写在该题【 】内。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，共10分。） 1. 设随机变量X的概率密度p(x)?1，则Y?2X的分布密度为 . 【 b 】 2?(1?x)(a)
1211； (b) ； (c) ； (d) arctanx． 222?(1?4x)?(4?x)?(1?x)?2. 设随机变量序列x1, x2,…, xn…相互独立,并且都服从参数为1/2的指数分布,则
1n当n充分大时,随机变量Yn=?xi的概率分布近似服从 . 【 b 】
ni?1 (a) N(2,4) (b) N(2,4/n) (c) N(1/2,1/4n) (d) N(2n,4n)
3. 设总体X服从正态分布N(?,?2)，其中?已知，?2未知，X1,X2,X3是总体X的一个 简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是 ． 【 C 】
（a）X1?X2?X3； （b）min(X1,X2,X3)； （c）?
i?13
Xi2?2
； （d）X?2?．
4．在假设检验问题中，检验水平?意义是 ． 【 a 】 （a）原假设H0成立，经检验被拒绝的概率； （b）原假设H0成立，经检验不能拒绝的概率； （c）原假设H0不成立，经检验被拒绝的概率； （d）原假设H0不成立，经检验不能拒绝的概率．
5．在线性回归分析中，以下命题中，错误的是 . 【 d 】
（a）SSR越大，SSE越小； （b）SSE越小，回归效果越好； （c）r越大，回归效果越好； （d）r越小，SSR越大．
二、填空题（将答案写在该题横线上。答案错选或未选者，该题不得分。每小题2分，共10分。）
1．设离散型随机变量X只取x1和x2两个可能值(且x1 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 方差D(X)=0.64, 则 x1= 1 , x2= 3 。 22．从10个数字0,1,2,3,…,9中任取两个数字,其和大于10的概率为16C10=0.356. 3. 设A,B为两个事件, P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B/A)=0.8, 则P(A∩B)= 0.2 . 4. 在单因素方差分析中，试验因素A的r个水平的样本总容量为n，则当原假设H0成 立时，SSA?2服从 X2(r?1) 分布，MSAMSE服从 F(r?1,n?r) 分布. 5. 在线性回归分析中，回归平方和的含义是 自变量x对响应变量y的影响程度 . 三、(10分，要求写清步骤及结果) .假设一条自动生产线生产的产品的合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？ ( 附：Φ(1.64)=0.95，其中Φ(x)是标准正态分布函数。) 解：假设至少要生产n件产品，记X表示n件产品中合格品的数目，显然X~B(n,0.8).由题意， 应该确定生产产品数n，使其满足不等式 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2 P?0.76?分） ??X??0.84??0.90 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） n?由De Moivre-Laplace定理，当n比较大时，X近似服从正态分布N(0.8n,0.16n)，故 ?X?0.8n0.04n?X??P?0.76??0.84??P????2?(0.1n)?1?0.90， n0.4n????0.4n即 ?(0.1n)?0.95. ．．．．．．．．．．．．．．．．．. ．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．（4由标准正态分布表，可得0.1n?1.64. 从而 n?268.96，因此n至少为269件.．．．．（2 分） 分） 四、(10分，要求写清步骤及结果) 为估计鱼池内的鱼数,第一次捕了2000尾,做了记号再放回鱼池内,充分混和后再捕2000尾,结果发现500尾有记号,试用极大试然法估计鱼池内的鱼数。 的第i条鱼有记号，?1，混合后从鱼池内捕出解： 用Xi=? i=1,2,…,2000. 0，否则。?i（2000N）（1?2000N）i 用N表示鱼池的鱼数, P{Xi=xi}= x1?x本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ xi1?xi（2000N）（1?2000N） 似然函数 Ｌ＝?i=1200020002000．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（．4分） 2000??xii?1（2000N）i?1（1?2000N）= ?xi ＝（2000N）2000x2000(1?x) （1?2000N） 取对数:ｌ＝ｌnＬ＝2000xｌn(2000/N)+ 2000(1?x)ｌn(1?2000/N) ．．．．．．．．．．（2分） 20001dl= ?2000 x+2000(1?x)=0, ．．．．．．．．．．．．（2分） N(N?2000)NdN求导数: 得: N= ^20002000?=8000. ．．．．．．．．．．．．（2分） 500/2000x五、(12分，要求写清步骤及结果) 已知某树种的木材横纹抗压力遵从正态分布,随机抽取 该中木材的试件9个,做横纹抗压力试验,获得下列数 据(单位kg/cm2): 482, 493, 457, 510 ,446, 435, 418, 394, 469. 试求 该木材的平均横纹抗压力95%的置信区间. (附：t0.975(9-1)=2.306??) 解： 此为小样本问题. 总体X具有分布为N(? , ?2), ? , ?2 均未知.用 T= n(x??)s* (或 T=n?1(x??)) ．．．．………………．．．．．．．．（4分） s x=456, s*=37.0135, s=34.8967, ．．．．………………．．．．．．．．（4分） s* ?? t0.975(9-1)=28.45, ．．．．………………．．．．．．．．（2分） n ??[x??,x??]=[427.55, 484.45]. 为此抽样下的置信区间. ．．．．…………… …．．．．．．．．（2分） 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 六、(15分，要求写清步骤及结果)在施以底肥与不施底肥的两块苗床上,分别抽取10株苗 木,测得苗高数据(单位:cm)如下表: 行和 施肥 不施肥 77.3 75.5 79.1 76.2 81.0 78.1 79.1 72.4 82.1 77.4 77.3 76.7 475.9 456.3 设苗木的苗高服从正态分布,且为重复抽样. (取显著水平α=0.01) 1．检验施肥苗床的苗木的苗高的方差是否一样？ 2．问施肥苗床的苗木的苗高是否显著高于不施肥苗床上苗木的苗高. （附：F0。975（6-1，6-1）=7.15 ， t0.95(6+6-2)=1.812） 解: 1. 10 提出假设: H0 :?1 0 2 =?2 ? H1 : ?1? ?2 , ．．．． 22 2 …．．．．．．．．（1分） 分） 2 F= *2s1*2s2= 1.9422.0052=0.936, ．．．． …．．．．．．．．（4 30 w1={F >7.15} ? {F < 1/7.15=0.14}; ．．．． 2 2 …．．．．．．．．（２分） 40 F值没有落在w1中,接受H0 :?1 =?2. ．．．． …．．．．．．．．（1分） 2. 10 提出假设: H0 :? 1 = ? 2 ? H1 : ? 1 > ? 2 , ．．．．…．．．．．．．．（1分） 20 T=ng(x1?x2)*2*2s1?s2=6g(79.317?76.05)=2.869; ．．．．…．．．．．．．．（4分） 3.762?4.019 …．．．．．．．．（1 30 w2={T > 1.812} ．．．． 分） 40 T值 落在w2中,拒绝H0: ?1 = ?2 ,接受H1 : ? 1 > ?2 .．．．．．．．．（1分） 七、(15分，要求写清步骤及结果) 设在育苗试验中有3种不同的处理方法,每种方法做6次 重复试验,一年后,苗高数据如下表: 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ 处理 方法 苗高yij(cm) 39.2 29.0 25.8 33.5 41.7 37.2 37.3 27.7 23.4 33.4 29.2 35.6 20.8 33.8 28.6 23.4 22.7 30.9 行 和 T1.=206.4 T2. =186.6 T3.=160.2 1 2 3 1. 试问不同的处理方法是否有显著差异? 2. 请列出方差分析表. 3. 哪种处理方法最好？（附:? =0.05, F0.95(3-1,18-3)=3.68） 解：１．Ｔ＝553.2, x=30.73, x1=34.4, x2=31.1, x3=26.7; C=T2/n=17001.68; SST=?32- C =17640.66 – 17001.68= 638.98; ?xij6i?1j?1 SSA=6?(xi?x)2=179.08, MSA=SSA/2=89.54; i?13 SSE=SST-SSA= 459.9, MSE=SSE/15=30.66, F=MSA/MSE=2.92; 拒绝域为 W={ F > 3.68}, F值在拒绝域内 ,故有理由认为不同的处理方法没有 显著差异. 2. 平方和 SST=638.98 SSA=89.54 SSE=30.66 F值 临界值 3.68 2.92 - 不显著 3.因为不同的处理方法没有显著差异,所以谈不上哪种处理方法最好. 本题 得分 八、(18分，要求写清步骤及结果) 为研究某种商品的单位家庭的月需求量Y 与该商品的价格x之间的关系,得数据如下:(α=0.05) 价格Xi(元) 1.0 2.0 2.0 2.3 2.5 2.6 2.8 3.0 3.3 3.5 月需求量Yi5.0 3.5 3.0 2.7 2.4 2.5 2.0 1.5 1.3 1.2 （500克） １．试求：x，y，lxx，lxy，lyy； 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！ ２．试求：对x的一元线性之经验回归方程； ３．对此一元线性回归方程进行显著性检验． ４．求当x=1.5时,需求量y0的估计值和y0的95%的置信区间. （附：t0.975(10－2)=2.306 ，r0.05(10－2)=0.6319 ，F0.95(１,10－2)＝ 5.32 ) （ 提示：预测公式 t =(y0?y0)?SSE?[1?1/n?(x0?x)2/lxx]~t(n?2)) n?2解: 1. x=2.5, y=2.51, ?xiyi=55.3, lxx=4.78, lxy=-7.45, lyy=11.929;．．．．．（42.?= lxy/lxx=-1.56，?=y- ?x=6.406， ^分） ^^得经验线性回归方程：y＝6.406－1.56 x; ．．．．…．．．．．．．．（4分） 3. 提出假设: H0 :?=0 ? H1 :??0 , ．．．． …．．．．．．．．（２分） 统计量: F=SSR/MSE=?lxy/(lyy-?lxy)=290.25, T=? ^^^^lxylxx4.78?1.56==-17.05, r==-0.987; MSE0.04lxxlyy 拒绝蜮: W={F>5.32}={|T|>2.306}={|r|>0.6319} ．．．． …．．．．．．．．（４分） 拒绝H0 :?=0,即认为线性回归方程显著. ^4.点估计 y0=4.0686, ?1?SSE?[1?1/n?(x0?x)2/lxx]=0.229, n?2 ．．． …．．．．．．．（．２分） ???1? t0.975(10－2)=0.528, ． 得区间估计 : y0 ?[3.5406, 4.596]. ．．．． …．．．．．．．．（２分）
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