第2课时 等差数列的性质及应用
课后篇巩固探究
A组
1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是
( )
A.15
B.30
C.31
D.64
解析:∵{an}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,
∴a12=16-1=15.
答案:A
2.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( ) A.-1
B.1
C.3
D.7
解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,
解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.
∵d=a4-a3=33-35=-2,
∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.
答案:B
3.若{an}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有
( ①{an+3} ②{
} ③{an+1-an} ④{2an} ⑤{2an+n} A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:根据等差数列的定义判断,若{an}是等差数列,则{an+3},{an+1-an},{2an},{2an+n}均为等差数列,而{}不一定是等差数列.
答案:D
4.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有 ( A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a100≤0 D.a51=0
解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.
答案:D
5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为( ) A.an=2n-5
B.an=2n-3
C.an=2n-1 D.an=2n+1
解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,
∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0. ∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2. ∴an=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.
答案:B
6.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9= . 解析:由等差数列的性质,
- 1 -
)
)
得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8), 即39+(a3+a6+a9)=2×33, 故a3+a6+a9=66-39=27. 答案:27
7.若lg 2,lg(2-1),lg(2+3)成等差数列,则x的值是 . 解析:由题意,知2lg(2-1)=lg 2+lg(2+3),
则(2-1)=2(2+3),即(2)-4·2-5=0,
x2
xxxxxx2x∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.
答案:log25
8.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为 . 答案:1,3,5或5,3,1
9.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{an}的通项公式. 解∵a1+a7=2a4=a2+a6,
∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5, ∴a2+a6=10,a2a6=9.
∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根. ∴
若a2=1,a6=9,则d==2,∴an=2n-3.
若a2=9,a6=1,则d==-2,∴an=13-2n.
∴数列{an}的通项公式为an=2n-3或an=13-2n.
10.已知f(x)=x-2x-3,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求: (1)x的值; (2)通项an.
解(1)由f(x)=x-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)-2(x-1)-3=x-4x,a3=x-2x-3,
又因为{an}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x-4x+x-2x-3,解得x=0或x=3. (2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,
2
2
2
2
2
2
2
此时an=a1+(n-1)d=-(n-1);
- 2 -
当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=,
此时an=a1+(n-1)d=(n-3).
B组
1.在数列{an}中,若a2=2,a6=0,且数列
是等差数列,则a4等于( )
A. B. C. D.
解析:令bn=,则b2=,b6==1.
由题意知{bn}是等差数列,
∴b6-b2=(6-2)d=4d=,∴d=.
∴b4=b2+2d=+2×.
∵b4=答案:A
,∴a4=.
2.已知数列{an}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( ) A.
B.±
C.-
D.-
解析:∵{an}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π.
∴a7=,tan(a2+a12)=tan 2a7=tan=-答案:D
.
3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) A.1升
B.升
C.升
D.升
解析:设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
- 3 -
由题意得
解得所以a5=a1+4d=.
答案:B 4.A.无实根
导学号33194007在等差数列{an}中,如果a2+a5+a8=9,那么关于x的方程B.有两个相等实根
D.不能确定有无实根
x2+(a4+a6)x+10=0( )
C.有两个不等实根
又a4+a6=2a5=6,
解析:∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3.
∴关于x的方程为x2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4×10<0,∴无实数解.
答案:A
5.已知logab,-1,logba成等差数列,且a,b为关于x的方程x-cx+d=0的两根,则
2
d= .
解析:由已知,得logab+logba=-2,即即ab=1.
故由根与系数的关系得d=ab=1. 答案:1 6.导学号33194008已知方程(x-2x+m)(x-2x+n)=0的四个根组成一个首项为
2
2
=-2,从而有(lg a+lg b)2=0,可得lg a=-lg b=lg,
的等差数列,则|m-n|= . 解析:由题意设这4个根为
+d,+2d,+3d.
可得=2,∴d=.
∴这4个根依次为.
∴n=,m=或n=,m=.∴|m-n|=.
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