考研数学一真题及答案解析参考 

2019年考研数学一真题

一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.当x?0时，若x?tanx与xk是同阶无穷小，则k? A.1. C.3.

2.设函数f(x)??B.2. D.4.

?xx,x?0,?xlnx,x?0,则x?0是f(x)的

A.可导点，极值点. C.可导点，非极值点.

B.不可导点，极值点. D.不可导点，非极值点.

3.设?un?是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是

uA.?n. n?1n?B.

?(?1)n?1??n1. un?un?1?C.???u??. n?1?n?1??D.

??un?12n?12?un.

?4.设函数Q(x,y)?x，如果对上半平面（y?0）内的任意有向光滑封闭曲线C都有y2?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，那么函数P(x,y)可取为

Cx2

A.y?3.

y

C.

1x2B.?3. yyD.x?11?. xy1. y25.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若A?A?2E，且A?4，则二次型

xTAx的规范形为

222A.y1?y2?y3. 222C.y1?y2?y3.

222B.y1?y2?y3. 222D.?y1?y2?y3.

6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A，则A.r(A)?2,r(A)?3. B.r(A)?2,r(A)?2. C.r(A)?1,r(A)?2. D.r(A)?1,r(A)?1.

7.设A,B为随机事件，则P(A)?P(B)的充分必要条件是 A.P(A?B)?P(A)?P(B). B.P(AB)?P(A)P(B). C.P(AB)?P(BA). D.P(AB)?P(AB).

8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N(?,?)，则PX?Y?1 A.与?无关，而与?2有关. B.与?有关，而与?2无关. C.与?,?都有关. D.与?,?都无关.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数f(u)可导，z?f(siny?sinx)?xy,则

2222??1?z1?z???= . cosx?xcosy?y10. 微分方程2yy'?y?2?0满足条件y(0)?1的特解y? . (?1)nnx在11. 幂级数?（0，??)内的和函数S(x)? . (2n)!n?0?12. 设?为曲面x?y?4z?4(z?0)的上侧，则

222??z4?x2?4z2dxdy= .

（?1，?2，?3）13. 设??为3阶矩阵.若

性方程组?x?0的通解为 .

?1，?2线性无关，且?3???1?2?2，则线

?x?,0?x?214. 设随机变量X的概率密度为f(x)??2 为X的分布函数，F（x）??0，其他，??X?1?? . ?X为X的数学期望，则P?F（X）三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分10分）

设函数y(x)是微分方程y'?xy?e（1）求y(x)；

（2）求曲线y?y(x)的凹凸区间及拐点. 16.（本题满分10分）

设a,b为实数，函数z?2?ax?by在点（3，4）处的方向导数中，沿方向l??3i?4j的方向导数最大，最大值为10.

（1）求a,b；

（2）求曲面z?2?ax?by（z?0）的面积. 17.求曲线y?esinx(x?0)与x轴之间图形的面积.

n218.设an??x1?xdx，n=（0，1，2…）

01?x2222?x22满足条件y(0)?0的特解.

（1）证明数列?an?单调减少，且an?（2）求limn?1an?2（n=2，3…） n?2ann??an?1.

22219.设?是锥面x??y?2??(1?z)(0?z?1)与平面z?0围成的锥体，求?的形心

坐标.

20.设向量组

?1?(1,2,1)T,?2?(1,3,2)T,?3?(1,a,3)TT??(1,1,1)，为R的一个基，在

3

T(b,c,1)这个基下的坐标为.

（1）求a,b,c.

（2）证明a2,a3，?为R3的一个基，并求a2,a3,?到a1,a2,a3的过度矩阵.

??2?21??210?????x?2?与B??0?10?相似21.已知矩阵A??2?0?00y?0?2?????

（1）求x,y.

（2）求可可逆矩阵P，使得P?1AP?B.

22.设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为

P?Y??1??p,P?Y?1??1?p,(0?p?1),令Z?XY

（1）求z的概率密度.

（2）p为何值时，X与Z不相关. （3）X与Z是否相互独立? 23.（本题满分11分） 设总体X的概率密度为

…Xn来自总体X的简单其中?是已知参数，??0是未知参数，?是常数，X1，X2，随机样本.

（1）求?；

（2）求?2的最大似然估计量

2019年全国硕士研究生入学统一考试

数学试题解析（数学一）

1.C 9.

2.B

3.D

4.D

5.C

6.A

7.C

8.A

yx? cosxcosyx10.3e?2 11.cosx

12.

32 3T13. k(1,?2,1)，k为任意常数. 14.

2 3?xdx15. 解：（1）y(x)?e?(?e?x22e?dx?c)?exdx?x22(x?c)，又y(0)?0，

故c?0，因此y(x)?xe（2）y??e1?x2221?x22.

?(1?x)e21?x22?xe1?x221?x22，

y????2xe1?x22?(1?x2)xe?(x3?3x)e1?x22?x(x2?3)e1?x22，

令y???0得x?0,?3

凸 拐点 凹 拐点 凸 拐点 凹 所以，曲线y?y(x)的凹区间为(?3,0)和(3,??)，凸区间为(??,?3)和(0,3),拐点为(0,0)，(?3,?3e?32)，(3,3e).

(3,4)?3216. 解：（1）gradz?(2ax,2by)，gradz由题设可得，

?(6a,8b)，

6a8b，即a?b，又gradz???3?4?6a?2??8b?2?10，

所以，a?b??1. （2）S?2x?y2?2??1?(?z2?z2)?()dxdy=??1?(?2x)2?(?2y)2dxdy ?x?yx2?y2?22?2=

2x?y?2??21?4x?4ydxdy =?d??220031221?4??d?=2??(1?4?)12220=

13?. 317.