四川省绵阳市2020届高三第一次诊断性考试数学(理)答案

绵阳市高2015级第一次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCDAC BACBD BC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．3

14．(??，?)?(，??) 15．?32127 16．3935 9三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理

得sin?BAD?∴ ?BAD?ADBD?，

sin?Bsin?BADBD?sin?B1?， …………………………………………4分

AD2，?ADB???2?????， 366?6∴ ?ADC????6?5?． ……………………………………………………6分 6(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=

?，故AB=BD=2． 6在△ACD中，由余弦定理：AC2?AD2?CD2?2AD?CD?cos?ADC， 即52?12?CD2?2?23?CD?(?2

3)， ……………………………………8分 2整理得CD+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，………………10分 ∴ BC=BD+CD=4+2=6． ∴ S△ABC=

113?AB?BC?sin?B??2?6??33．……………………12分 22218．解：（Ⅰ）设{an}的公差为d(d>0)，

由S3=15有3a1+

3?2d=15，化简得a1+d=5，① ………………………2分 2又∵ a1，a4，a13成等比数列，

22

∴ a4=a1a13，即(a1+3d)=a1(a1+12d)，化简得3d=2a1，② ……………4分

联立①②解得a1=3，d=2，

∴ an=3+2(n-1)=2n+1． ……………………………………………………5分 ∴

11111??(?)，

anan?1(2n?1)(2n?3)22n?12n?31111111111n?)]?(?)?∴ Tn?[(?)?(?)???(．

235572n?12n?3232n?33(2n?3) ……………………………………………………7分

(Ⅱ) ∵ tTn?an+11，即

tn?2n?12，

3(2n?3)3(2n?12)(2n?3)3(4n2?30n?36)9∴ t???12(n?)?90，………………9分

nnn又n?9≥6 ，当且仅当n=3时，等号成立， n9n∴ 12(n?)?90≥162， ……………………………………………………11分 ∴ t?162． ……………………………………………………………………12分 19． 解 ：（Ⅰ）由图得，A?2． …………………………………………………1分

3?5?3?T???，解得T??， 43124于是由T=

2????，得??2．…………………………………………………2分 2?2???)?2，即sin(??)?1， 33∵ f()?2sin(?3∴

2?????????2k??，即??2k??，k∈Z，又??(?，)，故???， 326226∴ f(x)?2sin(2x?由已知2sin(2???6)． ……………………………………………………3分

?6?3)?，即sin(2??)?， 6565因为??(0，)，所以2????63?(??，)，

624． 5?∴ cos(2???6)?1?sin2(2???6)?∴sin2??sin[(2???6)??6]

?cos(2???sin(2???6)cos?6?6)sin?6

3341=??? 5252=

4?33． ………………………………………………………6分 10(Ⅱ)由（Ⅰ）知，g(x)?2?f(x)?cos(4x? =4?sin(2x? =4?sin(2x??3)

?6)?cos(4x??3)

?6)?[1?2sin2(2x??6)]

=?2[sin(2x?∵ x∈[?6)??]2?2?2?1，…………………8分

5?2??，]，于是0≤2x?≤， 121236?∴ 0≤sin(2x??6)≤1．………………………………………………………9分

①当??0时，当且仅当sin(2x??6)=0时，g(x)取得最大值1，与已知不符．

②当0≤?≤1时，当且仅当sin(2x?由已知得2?2?1=

?6)=?时，g(x)取得最大值2?2?1，

31，解得??． 22③ 当?>1时，当且仅当sin(2x?由已知得4?-1=综上所述，???6)=1时，g(x)取得最大值4?-1，

35，解得?=，矛盾． 281．……………………………………………………………12分 220．解：（Ⅰ）f?(x)?kex?3x2．

由题知方程kex?3x2=0恰有三个实数根，

3x2整理得k?x．………………………………………………………………1分

e3x(2?x)3x2令g(x)?x，则g?(x)?， xee由g?(x)?0解得0?x?2，由g?(x)?0解得x?2或x?0，

2)上单调递增，在(??，0)，(2，??)上单调递减．………3分 ∴ g(x)在(0，于是当x=0时，g(x)取得极小值g(0)?0，

当x=2时，g(x)取得极大值g(2)?12． ………………………………5分 e2且当x???时，g(x)???；当x???时，g(x)?0，

12∴ k?(0，2)．…………………………………………………………………6分

e(Ⅱ)由题意，f?(x)?kex?3x2=0的三个根为x1，x2，x3，且x1?x2?x3，

3x2∴ 0

e222?x2?2??x2?3x2?2(0?x2?2)， ………9分 ∴ f(x2)?kex2?x2?2?3x23332令?(x)??x3?3x2?2(0?x?2)， 则??(x)??3x2?6x??3x(x?2)，

当0

6)． ……………………………………………………………12分 ∴ f(x2)?(2，21．解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0，+∞)．

若a<0，f(2)?2aln2?1<0，与已知矛盾．………………………………1分 若a=0，则f(x)??x?1， 显然不满足在(0，+∞)上f(x)≥0恒成立．

…………………………………2分

若a>0，对f(x)求导可得f?(x)?alnx?a?1． 由f?(x)?0解得x?e∴ f(x)在(0， e∴ f(x)min=f(e1?aa1?aa，由f?(x)?0解得0

)上单调递减，在(

1?aea，+∞)上单调递增，

1?aa)=1-a

． ………………………………………………4分

1?aa∴ 要使f(x)≥0恒成立，则须使1-ae两边取对数得，令g(a)?lna+

≥0成立，即e1?aa≤

1恒成立． a1?a11≤ln，整理得lna+-1≤0，即须此式成立． aaaa?11-1，则g?(a)?2， aa显然当01时，g?(a)>0， 于是函数g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)单调递增， ∴ g(a)min=g(1)?0，

即当且仅当a=1时，f(x)min=f(1)=0，f(x)≥0恒成立， ∴ a?1满足条件．

综上，a=1．……………………………………………………………………6分