?2X0(X?X)?1X?SY???00?23063.27?0.2661
18?2?1?409.12?20.23在5%的显著性水平下，自由度为18-2-1=15的t分布的临界值为t0.025(15)?2.131，于是Y均值的95%的预测区间为
1235.22?2.131?20.23 或 （1192.12,1278.32）
同样容易得到Y个值的预测的标准差为
?2[1?X0(X?X)?1X?SY???0]0?23063.27?1.266118?2?1
?1946.67?44.12于是，Y个值的95%的预测区间为
1235.22?2.131?44.12 或 (1141.20,1329.24）
3—15 根据100对（X1，Y）的观察值计算出
?x计量。
21?12，?x1y??9，?y2?30
（1）求出一元模型Y??0??1X1??中的 ?1的OLS估计量及其相应的标准差的估
（2）后来发现Y还受到X2的影响，于是将一元模型改为二元模型
Y??0??1x1??2x2??
收集X2的相应观察值并计算出
?x22?6，?x2y?8，?x1x2?2
求二元模型中的?1，?2的OLS估计值及其相应的标准差估计量。
?与二元模型中的??1是否相等？为什么？ （3）一元模型中的?1
解答：
??（1） ?1?xy?x2ii1i2i1??9??0.75 12??
2uy?????1?xi1yin?2 30?0.75?(?9)??0.375100?22x?i12?u??)?Var(?1?0.375?0.03125 12S???0.03125?0.1768
1（2） 记样本的二元线性模型离差形式为
?1x1???2x2??? y??则有
?1??xy?xy??x?xxi22i1i1iii2i1?xx?x?xx?xi1i22i2i1i22i2?9286?70????1.0294 1226826
?x?xy12?9?xx?xy?28?114?1.6765 ???12268?x?xx26?xx?x??xy????xyy??????2i1i1ii2i12i1i2i1i2i12ii1i22i221i1i2i2i?n?3
30?[?1.029?(?9)]?1.6765?8??0.2665100?3由补充题3—11知
??S??1???x?x2i1?x2i22i2?(?xi1xi2)2
?0.2665?6?0.0235?0.1533212?6?2
2x?i12i2??S??2???x?x2i1?(?xi1xi2)2
?0.2665?12?0.0470?0.216912?6?22?与二元模型中的??1不相等。主要原因在于X1与（3）由上述计算结果知，一元模型中的?1X2有相关性。如果它们是线性无关的，即?xi1xi2?0，则容易验证二者相等。
3—16考虑以下预测的回归方程：
Yt??120?0.10Ft?5.33Rt， R2?0.50
其中，Yt为第t年的玉米产量（单位：吨/亩），Ft为第t年的施肥强度（单位：千克/亩），Rt 为第t年的降雨量（单位：毫米）。
（1）从F和R对Y的影响方面，说出本方程中系数0.10和5.33的含义。 （2）常数项-120是否意味着玉米的负产量可能存在？ （3）假定?F的真实值为0.40，则估计值是否有偏？为什么？
（4）假定该方程并不满足所有的经典模型假设，即并不是最佳线性无偏估计值，是否意味着?R的真实值绝对不等于5.33？为什么？ 1亩=
100002m 15解答：
（1）在降雨量不变时，每亩增加1千克肥料将使第t年的玉米产量增加0.1吨/亩；在每亩施肥量不变的情况下，每增加1毫米的降雨量将使第t年的玉米产量增加5.33吨/亩。 （2）在种地的一年中不施肥也不下雨的现象同时发生的可能性极小，所以玉米的负产量不可能存在。事实上，这里截距项为负无实际意义。
（3）如果?F的真实值为0.40，则表明该估计值与真值有偏误，但一般不说0.1是有偏估计。理由是0.1是参数的一个估计值，而所谓估计量的有偏是针对估计的期望来说的，即如果取遍所有可能的样本，这些参数估计值的平均值的与0.4有偏误的话，就说估计是有偏的。 （4）不一定。即使该方程并不满足所有的经典模型假设，不是最佳线性无偏估计值，也有可能使得出的估计系数等于5.33。
3—17 已知数据如表3—2。
表3—2
Y 1 3 8 15 28 X1 1 2 3 4 5 X2 10 9 5 1 -6 （1）先根据表中数据估计一下回归模型的方程（只估计参数不用估计标准差）：
Yi??0??1X1i??1i Yi??0??2X2i??2i
Yi??0??1X1i??2X2i??i
（2）回答下列问题：?1??1吗？为什么？?2??2吗？为什么? 解答：
（1）对于Yi??0??1X1i??1i的估计结果如图3—3所示。
Dependent Variable: Y Included observations: 5 Variable C X1 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient Std. Error -8.800000 3.942926 t-Statistic -2.231845 Prob. 0.1118 0.0115 11.00000 10.93161 5.775588 5.619363 30.82075 0.011526 6.600000 1.188837 5.551644 0.911297 Mean dependent var 0.881729 S.D. dependent var 3.759433 Akaike info criterion 42.40000 Schwarz criterion -12.43897 F-statistic 1.529245 Prob(F-statistic ) 图3—3
即有 Y??8.8?6.6X1 对于Yi??0??2X2i??2i的估计结果如图3—4所示。
Dependent Variable: Y Included observations: 5 Variable Coefficient Std. Error C 17.34075 0.481444 X2 -1.668618 0.069060 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat t-Statistic 36.01820 -24.16180 Prob. 0.0000 0.0002 11.00000 10.93161 2.921991 2.765766 583.7925 0.000155 0.994887 Mean dependent var 0.993183 S.D. dependent var 0.902551 Akaike info criterion 2.443794 Schwarz criterion -5.304977 F-statistic 1.948272 Prob(F-statistic ) 图3—4
即有 Y?17.34?1.66X2 对于Yi??0??1X1i??2X2i??i的估计结果如图3—5所示。
Dependent Variable: Y Included observations: 5 Variable C X1 X2 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient 21.92222 -1.177778 -1.944444 Std. Error 4.355258 1.113026 0.269316 t-Statistic 5.033507 -1.058176 -7.219949 Prob. 0.0373 0.4009 0.0186 11.00000 10.93161 2.877389 2.643052 304.1064 0.003278 0.996722 Mean dependent var 0.993445 S.D. dependent var 0.885061 Akaike info criterion 1.566667 Schwarz criterion -4.193473 F-statistic 2.912057 Prob(F-statistic ) 图3—5
即有 Y?21.92?1.178X1?1.944X2
???1.18，显然??。 ?1?6.6，??1??（2）从上述回归结果可知?11???1.67，????1.94，显然?????。 同样地，?1222二元回归与分别对X1与X2所作的一元回归，其相应的参数估计不相等，主要原因在于X1与X2有很强的相关性，事实上两者的相关系数为r??0.9679。
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