试题解析：(1)、有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD
、设AP=x，有折叠关系可得：BP=AP=EP=x AB=DC=2x AM=1
由△AMP∽△BPQ得： 即
由△AMP∽△CQD得： 即CQ=2
+2－1=
AD=BC=BQ+CQ=
+2 MD=AD－AM=+1
又∵在Rt△FDM中，sin∠DMF= DF=DC=2x ∴ 解得：x=3或x=(不合
题意，舍去) ∴AB=2x=6.
考点：相似三角形的应用、三角函数、折叠图形的性质.
4.（2015?福建泉州第25题13分）（1）如图1是某个多面体的表面展开图．
①请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点；
②如果沿BC、GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么△BMC应满足什么条件？（不必说理）
（2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计）
解：（1）①根据这个多面体的表面展开图，可得 这个多面体是直三棱柱， 点A、M、D三个字母表示多面体的同一点． ②△BMC应满足的条件是： a、∠BMC=90°，且BM=DH，或CM=DH； b、∠MBC=90°，且BM=DH，或BC=DH； c、∠BCM=90°，且BC=DH，或CM=DH；
（2）如图2，连接AB、BC、CA，，
∵△DEF是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成， ∴矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面， 且四边形DGAL、EIBH、FKCJ须拼成与底面△ABC全等的另一个底面的三角形，
∴AC=LK，且AC=DL+FK， ∴， 同理，可得
，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
即S△DEF=4S△ABC，
∴，
即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是．
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