（Ⅱ）讨论函数g（x）的单调性； （Ⅲ）是否存在常数K，使
≤ex﹣f'（x）恒成立，若存在，求出K的最大值，若不存
在，说明理由．
考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）求出函数f（x）的定义域以及导数，通过令f'（x）＞0，令f'（x）＜0解得函数的单调区间，然后求解f（x）的最小值．
（Ⅱ）求出g（x）的定义域，，通过当a≤0时，g'（x）＜0，g（x）
单调递减函数，当a＞0时，令g'（x）=0，通过列表可以推出：当a＞0 时，g（x）在区间上
是单调增函数，在上（0，）是单调递减函数．
（Ⅲ）转化
（Ⅱ）g（x）=ex﹣1﹣lnx在区间当
，恒成立，为K≤（ex﹣1﹣lnx）?f（x）恒成立，利用
上是减函数，在区间
上是增函数，
时，g（x）=ex﹣1﹣lnx的最小值，由（Ⅰ）可知，当时，f（x）取得最小值，从
而函数y=（ex﹣1﹣lnx）?f（x）在时，取得最小值，求出K的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）f（x）的导数f'（x）=1+lnx．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分） 令f'（x）＞0，解得从而f（x）在
；令f'（x）＜0，解得单调递减，在
．
单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） 所以，当
时，f（x）取得最小值1
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）∵g（x）=ax﹣1﹣lnx，∴f（x）的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）是单调递减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
当a＞0时，令f'（x）=0，∴表： x f′（x） f（x）
（0，） ﹣ ↘
0
极小值
+ ↗
的变化情况如下
从上表可以看出：当a＞0 时，f（x）在区间上﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
是单调增函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
在上（0，）是单调递减函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） （Ⅲ）∵
ex﹣f'（x）=ex﹣1﹣lnx所以
，恒成
立
即K≤（ex﹣1﹣lnx）?f（x）恒成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
由（Ⅱ）可知，当a=e，g（x）=ex﹣1﹣lnx在区间上是增函数 故当
时，g（x）=ex﹣1﹣lnx的最小值为
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣上是减函数，在区间
（11分）
又由（Ⅰ）可知，当12 分
故函数y=（ex﹣1﹣lnx）?f（x）当﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分） 即K的最大值为
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14
时，取得最小值
∴
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
时，f（x）取得最小值
=1
＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
分）
点评： 本题考查函数的导数的综合应用，利用函数的导数求解最值，难度大是压轴题．
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