2018年全国初中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1. 已知x,y,z满足
2355x?y??，则的值为 （ ）
y?2zxy?zz?x111. （C）?. （D）. 332（A）1. （B）【答】B. 解 由
32355x?y5x?3x1????，故选（B）. 得y?3x,z?x，所以
2y?2z3x?3x3xy?zz?x注：本题也可用特殊值法来判断. 2．当x分别取值
1111，，，…，，1，2，…，2005，2006，2007时，计算20072006200521?x2
代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ） 2
1?x
（A）－1. （B）1. （C）0. （D）2007. 【答】C.
11?()211?n2n2?11?n2n??0解 因为，即当分别取值，n(n为正整数）时，计??x121?n2n2?11?n2n1?()n111?12?0算所得的代数式的值之和为0；而当x?1时，.因此，当分别取值，，x200720061?1211，…，，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C）. 200522007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共8页） 23. 设a,b,c是△ABC的三边长，二次函数y?(a?)x?cx?a?b2b在x?1时取最小值28?b，则△ABC是 （ ） 5（A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形. 【答】D.
?c???1,?b?2(a?)解 由题意可得?即2?bb8?a??c?a???b,225??b?c?2a,34?所以c?b，a?b，因此3?55c?b,?5?a2?c2?b2，所以△ABC是直角三角形. 故选（D）.
4. 已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则∠A的度数是（ ）
（A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）75°. A 【答】C. E 解 锐角△ABC的垂心在三角形内部，如图，设△ABC的外心为O，D
O 为BC的中点，BO的延长线交⊙O于点E，连CE、AE，则CE//AH，H AE//CH，则OB?AH?CE?2OD，所以∠OBD＝30°，∠BOD＝B C D 60°，所以∠A＝∠BOD＝60°.故选（C）.
5．设K是△ABC内任意一点，△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F，则
S△DEF:S△ABC的值为 （ ）
（A）
1224. （B）. （C）. （D）. 9993【答】A.
解 分别延长KD、KE、KF，与△ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、P，由于D、E、F分别为△KAB、△KBC、△KCA的重心，易知M、N、P分别为AB、BC、CA的中点，所以S△MNP?1S△ABC. 4232易证△DEF∽△MNP，且相似比为2:3，所以S△DEF?()S△MNP?所以S△DEF:S△ABC?411?S△ABC?S△ABC. 9491.故选（A）. 96．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）
（A）
1132. （B）. （C）. （D）.
510105【答】B.
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页（共8页） 解 设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球，则x,y,z都是正整数，且
x?5,y?6,z?7，x?y?z?15.因为y?z?13，所以x可取值2，3，4，5.
当x?2时，只有一种可能，即y?6,z?7；
当x?3时，y?z?12，有2种可能，y?5,z?7或y?6,z?6；
当x?4时，y?z?11，有3种可能，y?4,z?7或y?5,z?6或y?6,z?5；
当x?5时，y?z?10，有4种可能，y?3,z?7或y?4,z?6或y?5,z?5或y?6,z?4. 因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为
21?.故选（B）. 105二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1. 设x?12?11，a是x的小数部分，b是?x的小数部分，则a?b?3ab?____1___.
33解 ∵x?2?1?2?1，而2?2?1?3，∴a?x?2?2?1.
又∵?x??2?1，而?3??2?1??2，∴b??x?(?3)?2?2.∴a?b?1，
22222∴a?b?3ab?(a?b)(a?ab?b)?3ab?a?ab?b?3ab?(a?b)?1.
22332. 对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x?(n?2)x?2n?0的两个根记作，则an,bn（n?2）
1111003=? ????(a2?2)(b2?2)(a3?2)(b3?2)(a2007?2)(b2007?2)4016.解 由根与系数的关系得an?bn?n?2，an?bn??2n2，所以
(an?2)(bn?2)?anbn?2(an?bn)?4??2n2?2(n?2)?4??2n(n?1)，
则
11111????(?)，
(an?2)(bn?2)2n(n?1)2nn?1111? ???(a2?2)(b2?2)(a3?2)(b3?2)(a2007?2)(b2007?2)2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第3页（共8页） ＝?1?111111?1111003. (?)?(?)???(?)??(?)????2?233420072008?22200840163. 已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB?2,BC?CD?10,AD?6，过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE?BF的值为____4_____.
解 延长CD交⊙O于点G，设BE,DG的中点分别为点M,N，则易知AM?DN.因为BC?CD?10，由割线定理，易证BF?DG，所以BE?BF?BE?DG?2(BM?DN)?2(BM?AM)?2AB?4.
F E M A N
B C
G D
4． 若100a?64和201a?64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是___17____. a?64?n，则32?m,n?100，两式相减得 解 设100a?64?m，201因为101是质数，且?101?n?m?101，所以n?m?101，101a?n2?m2?(n?m)(n?m)，
22a?64?n2，整理得n2?402n?20237?0，解得n?59，或故a?n?m?2n?101.代入201n?343（舍去）.
所以a?2n?101?17.
第二试 （A）
一、 （本题满分20分）设m,n为正整数，且m?2，如果对一切实数t，二次函数
y?x2?(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2t?n，求m,n的值.
解 因为一元二次方程x?(3?mt)x?3mt?0的两根分别为mt和?3，所以二次函数
2y?x2?(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为mt?3.
由题意，mt?3?2t?n，即(mt?3)2?(2t?n)2，即(m2?4)t2?(6m?4n)t?9?n2?0. 由题意知，m?4?0，且上式对一切实数t恒成立，所以
2??m?4?0, ?222????(6m?4n)?4(m?4)(9?n)?0,22007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共8页） ?m?2,???2?4(mn?6)?0,?m?2,?m?3,?m?6,所以?或? ?n?1.mn?6,n?2,???二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与
BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N.证明：∠AFN=∠DME.
F 证明 设MN与EF交于点P，∵NE//BC， M
PNPE?∴△PNE∽△PBC，∴, PBPC∴PB?PE?PN?PC.
P
A
PMPE?, PBPFN E D
又∵ME//BF，∴△PME∽△PBF，∴∴PB?PE?PM?PF. ∴PN?PC?PM?PF,故
B C
PMPC? PNPF又∠FPN=∠MPE，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC
∴∠ANF＝∠EDM.
又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.
∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.
三、 （本题满分25分）已知a是正整数，如果关于x的方程x3?(a?17)x2?(38?a)x?56?0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.
解 观察易知，方程有一个整数根x1?1，将方程的左边分解因式，得
(x?1)x2?(a?18)x?56?0
因为a是正整数，所以关于x的方程
??x2?(a?18)x?56?0 （1）
的判别式??(a?18)?224?0，它一定有两个不同的实数根.
而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式??(a?18)?224应该是一个完全平方数.
设(a?18)?224?k（其中k为非负整数），则(a?18)?k?224，即
222222(a?18?k)(a?18?k)?224.
显然a?18?k与a?18?k的奇偶性相同，且a?18?k?18，而224?112?2?56?4?28?8，所以
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页（共8页）
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