第1课 集合的概念和运算
1.集合的含义与表示
a.求集合中元素的个数或已知元素个数求参数
(1)(2019 汇编,10分)①设集合A＝{1,2,3},B＝{4,5},M＝{ x|x＝a＋b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
②满足a,b∈{－1,0,1,2},且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )
A.14 B.13 C.12 D.10 答案:①B ②B
解析:①∵a∈A,b∈B,∴当a＝1,b＝4或5时,x＝5或6；当a＝2,b＝4或5时,x＝6或7；当a＝3,b＝4或5时,x＝7或8,结合集合中元素的互异性,可知M＝{5,6,7,8}.故选B.
②当a＝0时,方程为2x＋b＝0,此时一定有解,∴当b＝－1,0,1,2时,满足条件的有序数对为(0,－1),(0,0),(0,1),(0,2).当a≠0时,方程为一元二次方程,Δ＝4－4ab≥0,解得ab≤1,∴当a＝－1,1,2时,满足条件的有序数对为(－1,－1),(－1,0),(－1,1),(－1,2),(1,－1),(1,0),(1,1),(2,－1),(2,0),故使关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a,b)的个数为13.故选B.
(2)(经典题,5分)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素,则a＝________.
9
答案:0或
8
解析:若集合A中只有一个元素,则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.
299
当a＝0时,x＝,符合题意；当a≠0时,Δ＝(－3)2－8a＝0,解得a＝,∴a的值为0或.
388
b.对用描述法表示集合的理解不透彻导致出错
(3)(经典题,5分)下列说法:①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以
??x＋y＝3，
表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组?的解集为{x＝1,y＝2}.其中正确说法的个
?x－y＝－1?
数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0 答案:D
解析:①错误:由x3＝x,得x(x2－1)＝0,解得x＝0或x＝1或x＝－1.∵－1?N,∴集合{x∈N|x3
＝x}用列举法表示为{0,1},故①不正确.
②错误:集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”“全体”等含义,而符号“R”表示所有的实数组成的集合,故实数集正确的表示应为{x|x为实数}或R或{实数},故②不正确.
??x＋y＝3，
③错误:方程组?的解是有序数对,其解集正确的表示应为{(1,2)}或
?x－y＝－1?
??x?1???x,y?????,而集合{x＝1,y＝2}表示由这两个等式组成的集合,故③不正确.故选D.
?y?2????
变式思考: (经典题,6分)已知下面三个集合:①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x,y)|y＝x2＋1}.问:它们是否为同一个集合？并说明理由.
答案:不是同一个集合.理由见解答过程
解:它们是互不相同的集合.集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x,它满足条件y＝x2＋1,∴{x|y＝x2＋1}＝R；(2分)
集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y,满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1, ∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；(4分)
集合③{(x,y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x,y),可认为是满足条件y＝x2＋1的有序数对(x,y),也可认为是坐标平面内的点(x,y),且这些点的坐标满足y＝x2＋1,∴{(x,y)|y＝x2＋1}＝{(x,y)|(x,y)
是抛物线y＝x2＋1上的点}.(6分)
2.集合间的基本关系 a.判断集合间的关系
(4)(2019改编,10分)①已知E＝{x|x2＝0},F＝{x|x2－(a－1)x＝0},则下列关于集合E和F之间的关系,描述正确的是( )
A.E＝F或F?E B.E?F C.F?E D.E＝F或E?F
1n1p1??????
②已知集合M＝?x|x＝m＋6，m∈Z?,N＝?x|x＝2－3，n∈Z?,P＝?x|x＝2＋6，p∈Z?,则集
??????
合M,N,P之间的关系是 .
答案:①D ②M?N＝P
解析:①易得E＝{x|x2＝0}＝{0}.下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论:方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2.当a＝1时,Δ＝0,方程有两个相等的实数根, x1＝x2＝0,此时F＝{0},E＝F.当a≠1时,Δ＞0,方程有两个不相等的实数根,x1＝0, x2＝a－1≠0,此时F＝{0,a－1},E?F.综上,当a＝1时,E＝F；当a≠1时,E?F. 故选D.
1??
②集合M＝?x|x＝m＋6，m∈Z?.
??
1??
关于集合N:当n是偶数时,令n＝2m(m∈Z),则N＝?x|x＝m－3，m∈Z?；
??
??2m＋111
当n是奇数时,令n＝2m＋1(m∈Z),则N＝?x|x＝－，m∈Z?＝{x|x＝m＋6,m∈Z},
23??
从而得M?N.(2分)
1??
关于集合P:当p＝2m(m∈Z)时,P＝?x|x＝m＋6，m∈Z?；
??
??2m－111
当p＝2m－1(m∈Z)时,P＝?x|x＝＋，m∈Z?＝{x|x＝m－,m∈Z},从而得N＝P.综
326??
上可知M?N＝P.(5分)
b.根据集合间的关系求参数或其范围
(5)(经典题,5分)已知集合A＝{0,a},B＝{x|－1 解析:因为集合A＝{0,a},B＝{x|－1 b?? (6)(2019汇编,10分)①已知a,b∈R,若?a，a，1?＝{a2,a＋b,0},则a2018＋b2018＝________. ?? ②若集合{a,b,c}＝{0,1,2},且下列三个关系:ⅰ.a≠2；ⅱ.b＝2；ⅲ.c≠0有且只有一个是正确的,则100a＋10b＋c等于________. 答案:①1 ②201 b 解析:①由已知得a≠0,则＝0,∴b＝0,于是a2＝1,解得a＝1或a＝－1.根据集合中元素的 a 互异性可知a＝1应舍去,因此a＝－1,故a2018＋b2018＝(－1)2018＋02018＝1. ②可分下列三种情形:若只有i正确,则a≠2,b≠2,c＝0,∴a＝b＝1,这与集合中元素的互异性矛盾,∴只有i正确是不可能的；若只有ii正确,则b＝2,a＝2,c＝0,这与集合中元素的互异性矛盾,∴只有ii正确是不可能的；若只有iii正确,则c≠0,a＝2,b≠2,∴b＝0,c＝1,∴100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201. c.确定有限集的子集或真子集的个数问题 ?x－2*? (7)(2019改编,5分)已知集合A＝?x|≤0，x∈N?,B＝{ x|x≤2,x∈Z},则满足条件 x?? A?C?B的集合C的个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:C ?x－2? 解析:易得A＝?x|≤0，x∈N*?＝{1,2},B＝{x|x≤2,x∈Z}＝{0,1,2,3,4}.∵A?C?B,∴ x?? 集合C的个数为集合{0,3,4}的非空子集的个数,即23－1＝7(个). 3.集合的基本运算 a.交、并、补的综合运算 (8)(2019汇编,15分)①已知集合A＝{x||x|<2},B＝{－2,0,1,2},则A∩B＝( ) (2018北京) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{－2,0,1,2} D.{－1,0,1,2} 2 ②已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3},Q＝{x∈R|x≥4}, 则P∪(?RQ)＝( )(2016 浙江) A.[2,3] B.(－2,3] C.[1,2) D.(－∞,－2]∪[1,＋∞) ③集合U＝{1,2,3,4,5,6},A＝{2,3},B＝{x∈Z|x2－6x＋5<0},则(?UA)∩(?UB)＝( ) A.{1,5,6} B.{1,4,5,6} C.{2,3,4} D.{1, 6} 答案:① A ②B ③A 解析:①因为A＝{x||x|<2}＝{x|－2 ③B＝{x∈Z|x2－6x＋5<0}＝{x∈Z|(x－5)(x－1)<0}＝{2,3,4}.又∵A＝{2,3}, ∴A∪B＝{2,3,4},∴(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{1,5,6}.故选A. (9)(2018兰州高三月考,5分)设全集U＝R,A＝{x|x2－x－2＜0},B＝{x|y＝ln(1－x)},则图1－7中阴影部分所表示的集合为( ) 图1－7 A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{x|0 解析:由韦恩图知阴影部分表示的是A∩(?UB). ∵A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2},B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|x＜1}, ∴?UB＝{x|x≥1}, ∴A∩(?UB)＝{x|1≤x＜2}. ∴阴影部分对应的集合是{x|1≤x＜2}. 故选B. b.根据集合的运算求参数的值或范围 (10)(2019汇编,10分)①已知集合A＝{x|y＝4－x2},B＝{x|a≤x≤a＋1},若A∪B＝A,则实数a的取值范围为( ) A.(－∞,－3]∪[2,＋∞) B.[－1,2] C.[－2,1] D.[2,＋∞) ②设集合A＝{(x,y)|2x＋y＝1,x,y∈R},集合B＝{(x,y)|a2x＋2y＝a,x,y∈R},若A∩B＝?,则a的值为( ) A.2 B.4 C.2或－2 D.－2 答案:①C ②D 解析:①根据题意知4－x2≥0,解得－2≤x≤2,所以A＝{x|y＝4－x2}＝{x|－2≤x≤2}.又 ??a＋1≤2， 因为A∪B＝A,即B?A,所以?解得－2≤a≤1,故选C. ?a≥－2，? ②由题可知,集合A,B的元素为有序数对,且都代表的是直线上的点.因为A∩B＝?,所以
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