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将④、⑤式代入①式中并整理得
(x??45)1522?y?22(53)?1 ⑥
⑥式即为所需求的圆环之像。这是一个对称中心位于光心45cm处，以主光轴为长轴的椭圆。
讨论 如果把发光圆环用一球壳取代，则根据对称性，球壳的像是以圆环的像绕主轴旋转一周行成的一椭圆。
点评 曲线形线状物通过透镜所成的像也是一定曲线状，至于是什么样的曲线，要视具体情况而定。例如本题中的发光圆环所成的像变为一椭圆环就是一例。本题的关键是要建立恰当的物方和像方坐标系来球解问题。
例7、求厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件。并且不同类型的透镜，讨论可行性。
解: 我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征；球形表面的半径
r1和r2，厚度d和折射n（图1-5-28），焦距f=BF由下式给出
1?11?n?1?1??(n?1)???d???frrn??r1r2? 2?1焦距是从主点B算起的。B离表面的距离为
BA?h?r2dn(r1?r2)?d(n?1)r1 B d A r2 f F
图1-5-28
上述公式对任意厚度的厚透镜都成立，但只对近轴光线才给满意结果，因为是在一定的近似下得到的。
光被透镜色散。透镜对波长?0的折射率是na，对波长?的折射率是n。按折
bb射率n的幂次整理焦距公式，得
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f(r1?r2?d)n?[2fd?f(r1?r2)?r1r2]n?fd?0
2这是一个二次方程。给定一个f值，应有两个n值，因此，我们的问题可以解决。
先后以na和nb代入方程，并令其相等
?1na?1?1?(na?1)???d??rnar1r2??1r2? ?1nb?1?1???(nb?1)???d?r1r2nbr1r2???
整理后得到
?1r1?r2?d?1??nanb?
????
如果半径r1,r2与厚度d满足这一条件，则对两个不同的波长，即对两不同的折射率来说，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积nn在起作用，而不是色散
ab（nb?na）。因折射率大于1，于是括号内的数值小于1，说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜将是相当厚的。
结果讨论：首先，透镜不可以是平凸或平凹的，因为这种透镜有无限大的半径。其次，r1和r2之一为负的发散透镜是许可的，但不能是双凹透镜。
如果要求的不是f而是（f-h）对两个折射率有相同的值。实现这一点也是可能的，但却是一个复杂得多的问题。
例7、照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的最相胶片P上，两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图1-3-29所示。设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜，光线为近轴光线。
1、求插入玻璃板后，像的新位置。
L0.90cm zzP2、如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变，若AzBzwww.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 18 - 8.0cm 12.0cm 图1-3-29
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要求物体仍然清晰地成像于胶片上，则物体应放在何处？
解: 解法1
1、折射率为n，厚度为d 两面平行的玻璃板，对于会聚在像点P?的傍轴光束的折射作用可如下方法求出：如图1-3-30，取任一指向P?点的傍轴光线CP?，此光线经平行玻璃板折射的光路为CDEP??，在平板第一面的入射角i与折射角r均为小角度，反向延长EP??交D点处的法线于F，容易看出，DEP??P?为平行四边形，则
P?P???DF?b/tan??b/tani
dCiDFrEbP?P??平行板厚度d为
图1-3-30
d?b/tan?
得 P?P???d(1?tan?/tani) 因为i与r都很小，所以
tan?/tani?sin?/sini?1/n 故得
1??P?P???d?1??n? ?
以上结果对任何会聚于P?点的傍轴光线均成立，所以向轴上P?点会聚的傍轴光束经平行玻璃板折射后会聚于轴上P??点。在这种情形下，平行玻璃板的作用是使像点向远离平板方向移动距离P?P??，由题给数据得
P?P???0.9?(1?1/1.5)?0.3(cm) 故像成在镜头后面12.0+0.3=12.3（cm）处。 2、设照像机镜头焦距为f， 不放玻璃板时有
1/228+1/2=1/f，
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可得 f=11.4cm。
插入玻璃板时，若要像仍成在离镜头12cm处的胶片上，应改变物距使不放玻璃板时成像在镜头后面v处，即
v=12.0-0.3=11.7(cm)。
设这时物距为u，则
1/u+1/11.7=1/11.4，
得 u≈4.45m。
即：物体置于镜头前4.45m时，插入玻璃板后，仍可在胶片上得到清晰的像。
解法2
1、对于玻璃板第一面上的折射，其物距为 AP??8.9cm，n0?1.0，n?1.5
An0?1.0n?1.5pp1根据公式 AP1/AP??n/n0 （见图1-5-31）
图1-5-31
可得 AP1??AP?n/n0?(?8.9)(?1.5/1.0)?13.35(cm)
对于玻璃板第二面上的折射，（见图1-3-32） 其物距为
n?1.5 BP1??(AP1?AB)??12.45cm
又根据 BP2/BP1??n/n0 可得
BP2?(?n/n0)BP1?(?1.0/1.5)(?12.45)?8.3(cm)n0?1.0Bp2p1
图1-5-32
故像成在镜头后面的像距为 ??3.1?0.9?8.3?12.3(cm) 比原像向后移动△v，即
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