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（1） （2）
凸透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-35）。 凹透镜在前时d＞2cm（图1-5-36）。
3、发散光束
（1）凸透镜在前时，d＞2cm（图1-5-37） （2）凸透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-38）
凹透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-39）
10、焦距f的数值均相同的三个薄透镜L1、L2与 L3 ，依次为凸透镜、凹透镜与凸透镜，它们构成一个共轴光学系统，相邻透镜间的距离均为d，各透镜的光心分别为O1,O2,O3，如图1-5-40所示，在透镜L1左方，位于主光轴上的物点P，经过此光学系统最终成像于透镜L3右方的Q点 若距离PO2?O2Q，则物点P与透镜L1的距离应为多少？
分析: 此题按陆续成像考虑，一个一个透镜做下去也能得出⑥式的解，但列式子时容易出错，不如考虑对称性的解法，有清晰的物理图像，求解
图1-5-40
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PL1L2L3QO1dO2dO3P2高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家
主动。
此题的⑦式的解也以用“P经L1成像O2”的思路解出最为简明，但能这样想必须以“透镜成像时，若物距为零则像距也为零”作为已知结论才行。
解:（1）该系统对凹透镜L2而言是一左右对称的光学系统。依题意，物点P与像点Q处于对称的位置上，即对凹透镜L2而言，物点及经它成像后的像点应分居O2的两侧，且物距u2与像距?2相等。即 u2??2 ○
1
代入凹透镜L2的物像公式
1?1??1f u2?2 ○
2
3
解得 u2??2??2f?0 ○
物距与像距均为负值表明：物点P经透镜L1成像后，作为凹透镜L2的物点P2位于它的右侧，因而是虚物，经凹透镜L2成像于它的左侧，为一虚像，虚像点P2与虚像点Q2的凹透镜L2位于对称位置（图1-5-41） ?1?2f?d ○
4
代入凸透镜L1的物像公式
1?1??1fPL1L2L3QO1O2O3 u1解出
?1 ○
5
Q2P2图1-5-41
u1?f(2f?d)f?d
L1L2Q2O1O2dd（2）由②式，凹透镜L2的像距可表示为
PL3P2O3Q图1-5-42 @高考资源网 www.ks5u.com 版权所有
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?2??fu2u2?f??f1?fu2
当物点P2由右向左逐渐趋近于O2时，即物距u2由负值逐渐增大而趋于零时，像距?2亦由负值逐渐增大趋于零，即像点Q2由左向右亦趋近于O2。即u2?0时，
?2?0当u2?0时，?2?0，即对凸透镜L1而言，像距?1?d，参见图1-5-42，代
入⑤式
1?1d??1f u1解得：
u1?fdd?f ○
7
此结果表明，当物点P经过透镜L1后恰成像于透镜L2的光心O2上，由系统的对称性，可知经透镜L3后，将成像于对称点Q。像距?3数值为
?3?fdd?f
由此可知⑥式与⑦式均为所求的解，但对⑦式的结果，透镜间距d必须满足条件
d?f ○
8
这也可以从另一角度来考虑，当P通过L1成像正好在L2的光心处时，它经过O2的像仍在原处，即u2??2?0 。这样也可得到上面的结果。
例11、一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜后f=48cm处，透镜的折射率n=1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成像的位置。
分析:平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜，我们可根据平凸透镜平行光汇聚
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的几何关系求出凸球面的曲率半径R，即求出凹面镜的焦距，根据平面折射成像及凹面镜成像的规律可进一步求出最后所成像的位置。
解:（1）先求凸球面的曲率求径R。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于F点，如图1-5-43所示，C点为球面的球心，CO?R，由正弦定理可得
R?fR?sinrsin(r?i) ○
1
iiCrr?iOf由折射定律知
sini?1nE sinr ○
2
图1-5-43
当i、r很小时，sinr?r，sin(r?i)?r?i，sini?i由以上两式得
1?fR?rr?i?nn?1?1?1n?1
○
34
所以 R?(n?1)f ○
（2）凸面镀银后将成为半径R的凹面镜，如图1-5-44所示令P表示物所在的位置，P点经平面折射成像于P?，根据折射定律可推出
P?O?nPO ○
5
P?P???CPP?O12cm 图1-5-44
由于这是一个薄透镜，P?与凹面镜的距离可认为等于P?O，设反射后成像于
P??，则由球面镜成像公式可得
1 P?O?1P?O?2R ○
6
因此可解得P?O?36cm，可知P?位于平面的左方，对平面折射来说，是一个
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