高等数学试题及答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设f(x)=lnx，且函数?(x)的反函数
??1(x)=2(x+1)x-1，则f??(x)??（ ） 2．lim?0tx?et?e??2?dtx?01?cosx?（ ）
A．0 B．1 C．-1
D．?
3．设?y?f(x0??x)?f(x0)且函数f(x)在x?x0处可导，则必有（ ）
24．设函数f(x)=??2x,x?1x?1,x?1，则f(x)在
?3点x=1处（ ）
A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导 5．设
?xf(x)dx=e-x2?C，则f(x)=（ ）
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+
14)+f(x-14)的定义域是__________.
7
．
nlim???a?aq?aq2?L?aqn??q?1??_________
8．limarctanxx??x?_________
9.已知某产品产量为g时，总成本是
C(g)=9+g2800，则生产100件产品时的边
际成本MCg?100?__
10.函数f(x)?x3?2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.
11.函数y?2x3?9x2?12x?9的单调减少区间是___________.
12.微分方程xy'?y?1?x3的通解是___________. 13.
设
?2ln2dt?aet?1?6,则a?___________.
14.设z?cos2xy则dz= _______. 15
设
D??(x,y)0?x?1,0?y?1?，则??xe?2ydxdy?D_____________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
x16.设y???1??x??，求dy.
17.求极限limlncotx
x?0?lnx18.求不定积分?1?5x?1?ln?5x?1?dx.
19.计算定积分I=?a220a?xdx. 20.设方程x2y?2xz?ez?1确定隐函数z=z(x,y)，求z'x,z'y。
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别
为多少时，所用材料最省？ ?22.计算定积分?xsin2xdx
023.将二次积分I????siny20dx?xydy化为先对x积分的二次积分并计算其值。 五、应用题（本题9分）
24.已知曲线y?x2，求
（1）曲线上当x=1时的切线方程； （2）求曲线y?x2与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx. 六、证明题（本题5分）
25．证明：当x>0时，
xln(x?1?x2)?1?x2?1
参考答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．答案：B
2．答案：A
3．答案：A 4．答案：C 5．答案：D
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
6．答案：??13??4,4??
7．答案：
a1?q 8．答案：0
9．答案：14
10．答案：13 11．答案：（1，2） 312．答案：
x2?1?Cx 13．答案：a?ln2
14．答案：?1?y??sin2xdx?cos2x?ydy?
?15．答案：14?1?e?2?
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
x16. 答案：??lnx?1???1??x??dx
17．答案：-1 18．答案：
25ln?5x?1??C 19. 答案：?4a2
答案：Z'2xy?2zx220. x?2x?ez，Z'y?2x?ez四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21．答案：rV0?32?，hV0??r2?34V 0?222．答案：
?4
23. 答案：1
五、应用题（本题9分） 24. 答案：（1）y=2x-1（2）
112，?30（2
） 所求面
积
??131S(y?12?y)dy???1222?10?4?y?1??3y???012
所
求
体积
V12x?????2dx?121???0x3???1?2?5?6?30 六、证明题（本题5分） 25．证明：
故当x?0时f(x)单调递增，
则f(x)?f(0),即
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