§3解析函数的Taylor展式解读

§3 解析函数的Taylor展式

一、教学目标或要求：

掌握 一些基本初等函数的泰勒展式

二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：解析函数的泰勒展式 重点：基本初等函数的泰勒展式 难点：基本初等函数的泰勒展式 三、教学手段与方法： 讲授、练习

四、思考题、讨论题、作业与练习： 5－7

§3 解析函数的Taylor展 1. 泰勒定理

定理4.14 设G为区域，点a?G，圆K:z?a?R含于G（图5-1），若函数f(z)在G内解析，则在K内有

f(z)??cn(z?a)n (4.8)

n?0?其中

f(n)(0),n?0,1,2,? (4.9) cn?n!且上述展式是唯一的。

证明：设为内任一点，在内以为心，由哥西公式可得

为半径作一圆周，使在内，

下面将展为幂级数，考虑到展式应以圆心为中心，把改写为

当

时

由哥西公式将

下面证明展式的唯一性。设有另一个以为中心的不同于上式的泰勒级数

那么有

所以展式是唯一的。

定义 4.6 (4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式，(4.9)称为其泰勒系数，而(4.8)右边的级数，则称为泰勒级数。

定理4.15 f(z)在区域G内解析的充要条件是在G内任一点的邻域内可展开成

z?a的幂级数，即泰勒级数。 证:“

”泰勒定理

“”幂级数和的解析性定理。

2. 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 定理4.16 如果幂级数?cn(z?a)n的收敛半径，且

n?0?f(z)??cn(z?a)n, z?K:z?a?R

n?0?则f(z)在收敛圆周C:z?a?R上至少有一奇点，即不可能有这样的函数存在，它在z?a?R内与f(z)恒等，而在C上处处解析. 证 反证法。假设这样的的圆，其上

覆盖

存在，则对

上的任何一点都存在某个以该点为心

解析，由有限覆盖定理在这些圆中必存在有限个圆构成的区域 ，记

内解析。由泰勒定理，

在

，则

中可展为泰勒级数,但

在 在

中与恒等。故 与 在 点的各阶导数均相同，因此

也是 的泰勒级数，但其收敛半径，与

的收敛半径为矛盾。故这样的 不存在。

例 对

① 当时，，且

在

收敛，故由优级数判别法上有定义。 上必有

的奇点。 如

在上绝

对收敛且一致收敛，故②

在

上是解析的，但

在

即为的在

一个奇点。事实上，若处解析，则有幂级数和的解析性

也解析，但,,当 在 内沿实轴趋于1时

，故在处不解析，矛盾. 因此 为 的一个奇点。

3. 一些初等函数的泰勒展式 讨论：

(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何方法来求一个解析函数的泰勒展式，不一定要用公式

来求系数，即可用简接法展开。

(2)由于幂函数的和是解析函数，而解析函数又可以展为唯一的泰勒级数，所以解析函数与幂级数有着不可分割的联系。这样，解析函数的充分必要条件可表为：

在D内解析

在D内任一点的某领域内可展成幂级数(泰勒级数)。

(3)几个初等函数的泰勒级数

求泰勒展式的方法

1．直接展开，用例 求 解

以

的主值支在

及

处的幂级数展开式。 为支点，将平面沿负实轴从

到

割破，则

，

取主值即。

时，

可分出无穷多个单值解析分支

其中 称为

的主值支。记

在

由于,故的泰勒级数

。

于是

从而

的第 个分支在

处的泰勒展式为

例 求解 由条件由于

知

的解析分支

取主值支，记

在

处的泰勒展式。 ，则

故

的泰勒系数为

从而所给

的解析分支在

处的泰勒展式为

例 求

在

处的泰勒展式

解 令 ，则

故 ，

2.利用级数的加、减、乘运算。