§3解析函数的Taylor展式解读

例 求解

在处的泰勒展式。

例 求 解

在

的泰勒展式。

3．逐项微分 例

例

4．逐项积分 例

例 将 解

展开成 的幂级数使

.

(主值支

).

是多值函数，在

满足

条件时表示

的

5．级数代入级数 例

第 个分支

主支

6．待定系数法（除法）

例 则

故

从而 例 又

故

于是

即 7．代换法

例 把 解

在 展开为幂级数

例 把 解

在 展开

例 试将f(z)?z在点z?1展成泰勒级数。 z?2解 因为z??2是f(z)的唯一有限奇点，所以，f(z)可在z?1?1?(?2)?3内展成泰勒级数，有

zz?1?1? z?2z?1?3?z?11 ?(z?1)?3(z?1)?3z?11? z?1z?13(1?)3(1?)33??(?1)n(z?1)n?1?(?1)n(z?1)n????n?133n?1n?0n?0n?1n?1(z?1)??2?(?1),n?133n?1

z?1?3

例 多值函数以及为支点，将复平面沿负实轴上从-1到割

破，这样得到，在区域D上分支

在

可以分出无穷多个单值分支。现将每个单值

点展成的幂级数，先计算展开系数。