∵∠OPA+∠OPC=90°， ∴∠QPF+∠OPC=90°， ∴OP⊥PF， ∴PF是⊙O的切线．
点评： 本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．
2. （ 2014?珠海，第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H． （1）求BE的长；
（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．
考点：切 线的性质；扇形面积的计算；平移的性质 专题：计 算题． 分析：（ 1）连结OG，先根据勾股定理计算出BC=5，再根据平移的性质得AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，由于EF与半圆O相切于点G，根据切线的性质得OG⊥EF，然后证明Rt△EOG∽Rt△EFD，利用相似比可计算出OE=﹣OB=； （2）求出BD的长度，然后利用相似比例式求出DH的长度，从而求出△BDH，即阴影部分的面积． 解答：解 ：（1）连结OG，如图， ∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3， ∴BC==5， ，所以BE=OE∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF， ∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，
∵EF与半圆O相切于点G， ∴OG⊥EF， ∵AB=4，线段AB为半圆O的直径， ∴OB=OG=2， ∵∠GEO=∠DEF， ∴Rt△EOG∽Rt△EFD， ∴=，即=，解得OE=﹣2=； ， ∴BE=OE﹣OB=（2）BD=DE﹣BE=4﹣=． ∵DF∥AC， ∴，即， 解得：DH=2． ∴S阴影=S△BDH=BD?DH=××2=， 即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为． 点评：本 题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．
3. （ 2014?广西贺州，第25题10分）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm． （1）求证：BO⊥CO； （2）求BE和CG的长．
考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）由AB∥CD得出∠ABC+∠BCD=180°，根据切线长定理得出OB、OC平分
∠EBF和∠BCG，也就得出了∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°．从而证得∠BOC是个直角，从而得出BO⊥CO；
（2）根据勾股定理求得AB=10cm，根据RT△BOF∽RT△BCO得出BF=3.6cm，根据切线长定理得出BE=BF=3.6cm，CG=CF，从而求得BE和CG的长．
解答：[来（1）证明：∵AB∥CD 源:学.科.∴∠ABC+∠BCD=180° 网
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
Z.X.X.K] ∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
∴∠OBC=
，∠OCB=
，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°， ∴∠BOC=90°， ∴BO⊥CO．
（2）解：连接OF，则OF⊥BC， ∴RT△BOF∽RT△BCO， ∴
=
，
∵在RT△BOF中，BO=6cm，CO=8cm， ∴BC=∴
=
，
=10cm，
∴BF=3.6cm，
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切， ∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，
∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm． ∴CG=CF=6.4cm．
点评： 本题主要考查了直角梯形的性质和切线长定理的综合运用．属于基础题．
4. （ 2014?广西玉林市、防城港市，第23题9分）如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E． （1）求证：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
考点：切 线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：证 明题． 分析：（ 1）连结OD，根据切线的性质得OD⊥DE，则∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，则∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3， 所以∠1=∠2； （2）由OF：OB=1：3，⊙O的半径为3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，2在Rt△ODE中，DE=x，则EF=x，OE=1+x，根据勾股定理得32+t2=（t+1），解得t=4，则DE=4，OE=5，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比可计算出AG． 解答：（ 1）证明：连结OD，如图， ∵DE为⊙O的切线，
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