∴∠BOC=×180°=60°， ∴∠BAC=30°，[来源:学|科|网] ∴∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，CD=2∴AC=2CD=4， AC=×4=4， ， 在Rt△ACB中，BC=∴AB=2BC=4， ∴⊙O的半径为4． 点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系． 7.（2014?毕节地区，第26题14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD；
（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．
考点： 分析： 切线的判定 （1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；
（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切． 解答： （1）证明：∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠DCA=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠ACD=90°， ∴∠DCB=∠A； （2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切； 解：连接DO， ∵DO=CO， ∴∠1=∠2， ∵DM=CM， ∴∠4=∠3， ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴直线DM与⊙O相切． 点评： 此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
8．（2014·云南昆明，第22题8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D. （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）
AD1OEBC第22题图考点：切 线的判定；阴影部分面积. 分析：（ 1）连接OD，求出∠A=∠DOC，推出∠ODC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）先求出Rt?ODC的面积，再求出扇形ODC的面积，即可求出阴影部分面积． 解答：（ 1）证明：如图，连接OD ∵OB?OD， ∴?1??2， ∴∠DOC?2?1， ∵?A?2?1， ∴?A??DOC， ， ?∠ABC=90°??A??C?90? ∴?ODC??C?90， ???ODC?90? ∵OD为半径， ∴AC是⊙O的切线； ?（2）解：??A??DOC?60，OD?2 ?在Rt?ODC中，tan60???DC OD DC?ODtan60?2?3?23 ?SRt?ODC?11OD?DC??2?23?23 22
S扇形ODEn?r260???222???? 36036032? 3 ?S阴影?SRt?ODC?S扇形ODE?23?点评：本 题考查了等量代换、切线的判定、三角形面积、扇形面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力.．
9. （2014?株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；
（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．
（第1题图）
考点：圆 的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值． 分析：（ 1）连接OA，如下图1，根据条件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面积． （2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB所在的直线与圆O相切时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α的范围．
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