解：(1)?a4?16=42?(a2)2?(4?a2)(4?a2)?(4?a2)(2?a)(2?a)
(2) ?3x?2y?2??x?y?2=(3x?2y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)
课堂练习
222233一、a?2ab?b，a?b，a?b的公因式是______________________________。
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
24?2??2??2?21、x2?0.01??x???0.1???x?0.1? ?x?0.1?………………………… （ ）
9?3??3??3?2、9a2?8b2??3a?2??4b?2??3a?4b?? 3a?4b? ………………………………… （ 3、25a2?16b???5a?4b??? 5a?4b?………………………………………………… （ 4、?x2?y2??x2?y2???x?y?? x?y?………………………………………… （ 5、a2??b?c?2??a?b?c?? a?b?c?……………………………………………… （ 五、把下列各式分解
1、?9?m?n?2??m?n?2 2、3x2?13
3、4??x2?4x?2?2 4、x4?2x2?1
4．分组分解法
例4 （1）x2?xy?3y?3x （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6．
（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6 =2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)．
或
2x2?xy?y2?4x?5y?6=(2x2?xy?y2)?(4x?5y)?6
=(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3)．
课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）x2?y2?a2?b2?2ax?2by
（2）a2?4ab?4b2?6a?12b?9
） ）
）
） 5．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax2?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).
例5 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）x2?2x?1； （2）x2?4xy?4y2． 解： （1）令x2?2x?1=0，则解得x1??1?2，x2??1?2，
??? ∴x2?2x?1=??x?(?1?2)??x?(?1?2)?
=(x?1?2)(x?1?2)．
（2）令x2?4xy?4y2=0，则解得x1?(?2?22)y，x1?(?2?22)y， ∴x2?4xy?4y2=[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]．
练 习
1．选择题：
多项式2x2?xy?15y2的一个因式为 （ ） （A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2．分解因式：
233
（1）x＋6x＋8； （2）8a－b；
（3）x－2x－1； （4）4(x?y?1)?y(y?2x)．
习题1．2
1．分解因式：
（1） a?1； （2）4x?13x?9；
22（3）b?c?2ab?2ac?2bc； （4）3x?5xy?2y?x?9y?4．
223422
2．在实数范围内因式分解：
（1）x?5x?3 ； （2）x?22x?3；
（3）3x?4xy?y； （4）(x?2x)?7(x?2x)?12． 3．?ABC三边a，b，c满足a?b?c?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状． 4．分解因式：x＋x－(a－a)．
5. （尝试题）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=，求
2
2
2222222222111++的值.
ab?c-1bc?a-1ca?b-1
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，
如求方程的根（1）x?2x?3?0(2) x?2x?1?0 (3) x?2x?3?0}
2
我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
222b2b2?4ac)? (x?． ① 2a4a2因为a≠0，所以，4a＞0．于是 2
（1）当b－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
2
?b?b2?4ac x1，2＝；
2a（2）当b－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－
22
b； 2a（3）当b－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x?b2)一定大于或等于零，因2a此，原方程没有实数根．
222
由此可知，一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b－4ac来判定，我们把b－4ac2
叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
2
综上所述，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有
?b?b2?4ac（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；
2ab（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；
2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
22
（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0；
22
（3） x－ax＋(a－1)＝0； （4）x－2x＋a＝0．
2
解：（1）∵Δ＝3－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
22
（2）该方程的根的判别式Δ＝a－4×1×(－1)＝a＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
a?a2?4a?a2?4， x2?． x1?22（3）由于该方程的根的判别式为 222
Δ＝a－4×1×(a－1)＝a－4a＋4＝(a－2)，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1．
（3）由于该方程的根的判别式为
2
Δ＝2－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以
①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根
x1?1?1?a， x2?1?1?a；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
2
?b?b2?4ac?b?b2?4ac x1?，x2?，
2a2a则有
?b?b2?4ac?b?b2?4ac?2bb x1?x2?????；
2a2a2aa?b?b2?4ac?b?b2?4acb2?(b2?4ac)4acc x1x2????2?．
2a2a4a24aa
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?2
bc，x1·x2＝．这一关系也被称为aa韦达定理．
2
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
222
所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x＋px＋q＝0
2
的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 例2 已知方程5x?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
2
解法一：∵2是方程的一个根，∴5×2＋k×2－6＝0，∴k＝－7．
所以，方程就为5x－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－所以，方程的另一个根为－
2
23． 53，k的值为－7． 563解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－，∴x1＝－．
553k由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．
55
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