即 x时,x，于是=
可推广到x
， x
，x
。所以对于
3．2.２ 定理推广：由证明过程显然定理条件ｘ待定型,
可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限.
注意事项： １．对于同一算式的计算中，定理可以重复多次使用。2．当算式中出现Sin或Cos形式时,应慎重考虑是否符合洛必达法则条件中f'(x）与g’(x）的存在性。向其他待定型的推广.(下转化过程中描述引用的仅为记号。） 1． ２. 04。
、可化为＝0、
=
,事实上可直接套用定理。
—
=
—
，通分以后0
、
0、0
=
。 。
3. 取对数
０Ln0、
Ｌｎ1、0Lｎ
3。３ 泰勒公式及其误差图示 来源:实践，常用导数进行近似运算． 由于
时
所以
，因此
范围：在直接求ｆ(x)困难，而在x附近x0处f(ｘ0）与ｆ’(x0）较易时应用.条件是x与x0充分接近，可达到一定的精度. 利用
Sinxx,tgxｘ，
,当
为不同函数时.有常用近似公式如下:(｜ｘ｜很小时)
，
,Ln(1+x)x。
于是
即，p１=f(0)
与
泰勒公式来源：上述公式在｜ｘ|很小时,
＋f’（0）ｘ与f(x)在ｘ＝0处函数值相等,且一阶导数相等.为进一步提高精度欲使在二阶导数处也相等。于是得
对于误差，有定理: 间） 由定理：
，依此类推:
在x＝0处有n+1阶连续导数，则上式误差
,
。
（ 在x 与0 之
此式为 在x=0 处的关于x 的泰勒展开公式.即：
公式推广：一般地在ｘ=X０附近关于X0点的泰勒公式
注意：虽然泰勒公式是在x=（即ｘ离
过远）时,
”附近\展开,但是事实上x可以取f（x)定义域内任意值,只不过若｜x—相应变大。即使用
|过大
代替ｆ（x）的误差变大.可是,无论如何泰勒公式总是成6 / 40
立的,当固定后,不同的ｘ将使发生变化,并使变化,从而影响对ｆ（x）的近似精度。
3。4 函数图形描绘示例
定理:若f（ｘ）在［ａ，b]上连续，(a，ｂ)可导.则ｆ（x）在［ａ，b]单调上升(或单调下降)的充分必要条件为(ａ,b）内
(或
)， 推论：若f（x）在［a,ｂ]连续，(ａ，ｂ）可导,且
不变号, 则
（或<0)
严格单调上升(下降)。
定理(极值的必要条件)：若x0为f(x）的极值点，那么ｘ0只可能是f’(x）的零点或ｆ(x）的不可导点。 定理（极值判别法）:
若则若
则
, f（
)为极大值,
与内
, ｆ（ 上可导
则 为极小点,反之为极大点
)为极小值
不存在，但f（x） 在
内
,
定义：若曲线在一点的一边为上凸,另一边为下凸，则称此点为拐点,显然拐点处定义：若定义:若
则称ax+ｂ为f(x）的一条渐进线. 则称x=c为ｆ(ｘ）的一条垂直渐进线。
,
即
即
带回定义得
定理：若ｆ（x)的一条渐进线为ａx+b 则证明:由定义知
所以
函数图象描述的基本步骤：
1．确定y=f（x）的定义域并讨论函数的基本性质，如奇偶性，对称性\\周期性等. ２。求出
与
及
与
不存在的各点．
3.由2的结果函数的上升，下降区间，及图形的上凸，下凸区间以及各极值点。 ４。定出函数的渐近线. 5。描点作用。 ３．５ 曲率的概念及计算公式
3.5。1 概念：来源：为了平衡曲线的弯曲程度。 平均曲率为AB弧长。 例:对于圆，
。所以:圆周的曲率为1/R，是常数.而直线上
,即定义
，所以
，即直线“不弯曲”。
，
,这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中
表示曲线段AB上切线变化的角度,△s
对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令为了方便使用,一般令曲率为正数,即:
3.5.2 计算公式的推导： 由于
，所以要推导
。
与ｄs的表示法，ｄs称为曲线弧长的微分（T5-2８,P2１8）
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因为所以具体表示； 1、3、再推导
时,时，,因为
或
,所以。令
，同时用代替得
2、
（令
,所以
,两边对ｘ求导，得
)
时,
,推出.
下面将与ds代入公式中：
为曲线在某一点的曲率半径。
，即为曲率的计算公式.
3.5.3 曲率半径：一般称
几何意义（Ｔ5—29）如图为在该点做曲线的法线(在凹的一侧）,在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。 应用举例：求
上任一点的曲率及曲率半径(T5-30）
解：由于： 所以：，
3.6 方程的近似解法 3。6。1 应用前提:
方程ｆ(x)＝０,则f（x)应满足： （1）f(x)在［a，b］连续，f(ａ)与ｆ（b）不同号。 (2）
在(a，b）内连续且不变号。 (3）
在(ａ，b）内连续且不变号。
3.6.2 应用步骤：
n
首先:判断方程是否满足应用前提，先对端点a，b求ｆ（a)、f(b），取与f(x）同号的一点为起点.
过起点做f(x)的切线，交x轴与以次类推，直到3.6．3 应用举例: 求：解：令
在[１，2］内的根，误差
，有:
。然后：过（
，
)做
的切线,交ｘ轴与
。
满足精度要求。
所以可应用上述方法,求得: 由于
，所以误差范围内的近似解为
3.６。4 两点说明：
1. 前提条件的作用: 第一个条件显然是为了保证区间上解的存在性。
第二、第三个条件是为了保证各步迭代后,得到的交点仍落在区间上的
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2. 迭代公式： 设第ｎ步后的交点为,所以下一步过（,）做f(x）的切线，写出其方程就是：
，这就是迭代公式.
，它与X轴交点为
第四章:不定积分
在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论他的反问题，即要求一个导函数的原函数,也就是求一个可导函数,使他的导函数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一 4．１ 不定积分的概念与性质 4。1．1 原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间I上，可导函数F(ｘ）的导函数为f（x),即对任一x∈I，都有Ｆ'（ｘ）= f（x)或ｄF(x）= f（x）dx, 那末函数F（x）就称为ｆ(x）（或f（x）ｄx）在区间I上的原函数。 例如，因（sin x)'＝coｓ x,,故siｎ x是cos ｘ的原函数。
那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢?简单的说就是，连续的函数一定有原函数. 下面还要说明两点。 第一，如果有
，那么，对任意常数Ｃ,显然也有
,即如果
是
的原函
数，那F(x）+C也是ｆ(ｘ)的原函数。
第二，当Ｃ为任意常数时，表达式F(x）+C,就可以表示f（x）的任意一个原函数。也就是说,f（ｘ）的全体原函数所组成的集合,就是函数族定义2 在区间上，函数作
。其中记号
。由以上两点说明，我们引入如下定义。
的带有任意常数项的原函数称为称为积分号，
称为被积函数，
（或
）在区间上的不定积分,记
称为被积表达式，称为积分变量。
由此定义及前面的说明可知，如果F（x）是ｆ（x）在区间I上的一个原函数，那么F（x）+C就是ｆ（x）的不定积分， 即例 1 求例 2 求解 当当
。 因而不定积分
. 解 由于. 时,由于时,由于
==，所以
=是
在
内的一个原函数。因此,在
内，
内,
=
，所以
是
可以表示
的任意一个原函数。
.
的一个原函数。因此
，由上同理，在
将结果合并起来，可写作
4.１。2 不定积分的性质
根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质：
性质1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即
性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外面来，即k≠0）．
。 （k是常数，
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例 ３ 求． 解 ==＝
=
=
注意 检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否是错误的.
4.2 两类换元法及举例
利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的。因此，有必要进一步来研究不定积分的求法. 把复合函数的微分法反过来求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法,称为换元积分法，简换元法。
换元法通常分成两类. 4.2．１ 第一类换元法
定理1 设ｆ(ｕ）具有原函数， u =φ(x)可导, 则有换元公式
例1 求∫２cｏs2ｘdx.
解 作变换u=2x，便有∫2cｏs2xdx =∫cos2x·2dx ＝∫ｃｏs２ｘ·(2x）' dx =∫cos ｕ du ＝ ｓin u+Ｃ, 再以ｕ=２x代入，即得∫2coｓ2ｘdx =ｓｉn ２x+C． 例２ 求∫tan x ｄx。
解 ∫taｎ ｘ ｄx =∫siｎ ｘ /coｓ ｘ dx． 因为 -siｎ x dｘ = ｄ cｏｓ x，所以如果设ｕ=cos x，那么du=—sin ｘdx，即 —du＝ｓin xdx,
因此.
类似地可得∫coｔ x dｘ =ln｜ｓin x|＋Ｃ.在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u.
例3 求∫ch(x/a) ｄｘ. 解 ．
例４ 求 （a〉0)． 解 ．
下面求积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数，在计算这种积分的过程中，往往要用到一些三角恒等式.
3３22例5 求∫sin ｘ dx． 解 ∫sinx dx =∫sｉｎx ｓｉnｘ dx=-∫(1－ｃosx）d(cosx）=-∫d（cosｘ）+∫cos2xd（coｓx）=—cosx+（1/3）coｓ３x+Ｃ．
2例6 求∫cos x dx. 解
2.
类似地可得∫sｉn x dx=x/2－（siｎ2x）/4＋C. 利用定理1来求不定积分，一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难，因为其中需要一定的技巧，而且如何适当的选择变量代换ｕ=φ（x）没有一般途径可循，因此要掌握换元法,除熟悉一些典型的例子,需多练习。
4。2。2 第二类换元法
定理2 设x=ψ（x）是单调的、可导的函数, 并且ψ'（x）≠0。 又设f[ψ（t)］ψ’(t)具有原函数，则有换元公式
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