应用不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y—型的,我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Ｙ－型区域。如果积分区域D既是Ｘ-型的，又是Y-型的，则由公式(1'）及(2’)就得
。
上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分
。
二重积分化为二次积分时,确定积分限是一个关键.而积分限是根据积分区域Ｄ的类型来确定的。
例1 计算，其中D是由直线ｙ = 1、x = 2及y = ｘ所围成的闭区域。
解法1 首先画出积分区域Ｄ［插图４]。Ｄ是X—型的,D上的点的横坐标的变动范围是区间［1,2］。
在区间［1，2]上任意取定一个ｘ值，则Ｄ上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于ｙ轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（１）得
。
解法２ 把积分区域D看成是Ｙ－型的.同学们可作为练习,验证解出的答案是否与解法1的相一致。
对于较复杂的积分区域,在化二重积分为二次积分时，为了计算简便,需要选择恰当的二次积分的次序.这时,既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f（x，ｙ）的特性。 例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.
22222２
解 设这两个圆柱面的方程分别为ｘ + y ＝ R及ｘ + z ＝ R
利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分[插图5］的体积V１,然后再乘以8就行了。 所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体,它的底为如图９—2-5(b）所示。它的顶是柱面
。于是，
，
。利用公式（１）得
从而所求立体体积为
。
9.2．2 利用极坐标计算二重积分
有些二重积分,积分区域Ｄ的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，θ比较简单。
这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分。
按二重积分的定义有,下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。
假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与Ｄ的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r＝常数，以及从极点出发的一族射线：θ＝常数，把Ｄ分成n个小闭区域［插图6］。除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积Ｄ ｓ ｉ可计算如下：
21 / 40
其中表示相邻两圆弧的半径的平均值.在这小闭区域内取圆周h i,则由直角坐标与极坐标之间的关系有
上的一点
。于是
,该点的直角坐标设为x i，
,即
。
由于在直角坐标系中
也常记作
，所以上式又可写成
.（4）
这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式,其中rdrdθ就是极坐标系中的面积元素。
公式(4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标,只要把被积函数中的x、y分别换成ｒcｏsθ、rｓiｎθ,并把直角坐标系中的面积元素dxｄｙ换成极坐标系中的面积元素rｄrdθ。 极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。在[插图７］，二重积分化为二次积分的公式为
。（5)
上式也写成.(5’)
特别地，如果积分区域Ｄ是［插图８］所示的曲边扇形,那末相当于图9-２—7（ａ）中φ1(θ)≡0，φ2（θ)=φ（θ)。这时闭区域D可以用不等式0≤ｒ≤φ（θ)，α≤θ≤β来表示，而公式(５’）成为
。
如果积分区域D如图[插图９］）所示,极点在Ｄ的内部，那末相当于图9-2—8中α= 0、β= 2π。这时闭区域D可以用不等式０≤ｒ≤φ（θ），0≤θ≤2π来表示，而公式（5’）成为
.由二重积分的性质4,闭区域D的面积s 可以表
示为
。在极坐标系中，面积元素ds ＝ ｒdrdθ,上式成为
.
如果闭区域D如图9－2-7(a)所示，这由公式（5＇）有
特别地，如果闭区域D如图9—2—8所示，则φ1(θ)≡0，φ２（θ)=φ（θ）。于是
。
。
例3 计算,其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系中,闭区域D可表示为0≤r≤a,0≤θ≤2π.由公式(４）及(５）有
22 / 40
例4 求球体x+ｙ+z≤4a圆柱面x+y=２ａx（ａ>0)所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积［插图１０]。
２
2
2
2
2
2
解 由对称性，,其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域.
在极坐标系中，闭区域D可用不等式0≤ｒ≤2acos（θ）,0≤θ≤π/2来表示。于是
.
9。3 二重积分的应用实例
在二重积分的应用中，由许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理。如果所要计算的某个量对于闭区域D具有可加性(就是说,当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），并且在闭区域Ｄ内任取一个直径很小的闭区域dσ时,相应的部分量可近似地表示为ｆ(ｘ,y)dσ的形式,其中（ｘ,y)在dσ内。这个ｆ（ｘ，y)dσ称为所求量U的元素而记作dＵ，以它为被积表达式， 在闭区域D上积分：
，这就是所求量的积分表达式。
９.3。1 曲面的面积
设曲面S由方程z ＝ f（x，ｙ)给出,Ｄ为曲面Ｓ在xOy面上的投影区域，函数f（x,ｙ）在D上具有连续偏导数fx（x，y)和fｙ(x，y）。我们要计算曲面S的面积A。
在闭区域Ｄ上任取一直径很小的闭区域dσ(这小闭区域的面积也记作dσ)。在dσ上取一点Ｐ(ｘ，ｙ)，对应地曲面S上有一点M（ｘ，y，f（x,y）)，点M在ｘOｙ面上的投影即点P.点M处曲面Ｓ的切平面设为T［插图1]。以小闭区域dσ的边界为准线作母线平行于ｚ轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面Ｔ上截下一小片平面。由于dσ的直径很小,切平面T上的那一小片平面的面积dＡ可以近似代替相应的那一小片面积的面积.设点Ｍ处曲面S上的法线（指向朝上）于z轴所成的角为γ，则
。
因为 ，所以 。
这就是曲面Ｓ的面积元素,以它为被积表达式在闭区域Ｄ上积分，得.
上式也可写为。这就是计算曲面面积的公式。
设曲面的方程为x=g（x，ｙ)或y=h(z,x），可分别把曲面投影到xＯy面上(投影区域记作Dｙz）或zOx面上（投
影区域记作Dzx），类似地可得例1 求半径为ａ的球的表面积. 解:取上半球面的方程为
，或。
，则它在xOy面上的投影区域D可表示为ｘ+y≤a.
２22
由 ,得
2
2
。
2
因为这函数在闭区域D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D1：x+y≤ｂ（0＜ｂ＜a）为
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积分区域,算出相应于D１上的球面面积A1后，令b→ａ取A1的极限,就得半球面的面积.
，利用极坐标，得
于是
。
这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为A = ４πａ. 9．3.2 平面薄片的重心
设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D,在点（ｘ，y）处的面密度ρ(x,y)，假定ρ（ｘ，y)在D上连续.现在要找该薄片的重心的坐标。
在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ），(ｘ，y）是这小闭区域上的一个点.由于ｄσ的直径很小,且ρ（ｘ,y）在D上连续，所以薄片中相应于ｄσ的部分的质量近似等于ρ（x,y)dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y)上,于是可写出静矩元素ｄＭy及dＭx：
dＭy = xρ（x,y）dσ,ｄMx =yρ（x，ｙ)ｄσ。以这些元素为被积表达式,在闭区域D上积分，便得
２
.又由第一节知道,薄片的质量为.
所以,薄片的重心的坐标为。
如果薄片是均匀的，即面密度为常量,则上式中可把ρ提到积分记号外面并从分子、分母中约去，这样便得均匀
薄片重心的坐标为（１)其中为闭区域D的面积。这时薄片的重心完全
由闭区域D的形状所决定。我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心.因此,平面图形D的形心，就可用公式（1）计算.
例２ 求位于两圆ｒ = 2ｓinθ和r = 4ｓｉｎθ之间的均匀薄片的重心[插图２］
解 因为闭区域D对称于y轴，所以重心必位于y轴上，于是。再按公式计算。由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A = 3π。利用极
坐标计算积分：.因此,所求
重心是Ｃ（0,7/3)。
三、平面薄片的转动惯量
设有一薄片,占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度ρ（ｘ，y），假定ρ（x，y)在Ｄ上连续。现在要求该薄片对于x轴的转动惯量Iｘ以及对于y轴的转动惯量Iｙ.
应用元素法,在闭区域Ｄ上任取一直径很小的闭区域ｄσ（这小闭区域的面积也记作dσ），（x，y)是这小闭区域上的一个点。由于dσ的直径很小，且ρ(x,y）在D上连续，所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于ρ（x，ｙ）ｄσ，这部分质量可近似看作集中在点(x，y）上,于是可写出薄片对于ｘ轴以及对于y轴的转动惯量
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元素:ｄＩx = ｙρ(x,y）dσ，dIy = xρ（x,y）dσ。
２2
以这些元素为被积表达式,在闭区域D上积分,便得
例3 求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量ρ）对于其直径边的转动惯量.
222
解:取坐标系如图［插图3］所示,则薄片所占闭区域D可表示为x＋y≤a,y≥0;
而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ｉx。
.
为半圆薄片的质量。
其中
9．4 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
与二重积分的计算类似，三重积分有时也要利用柱面坐标或球面坐标来进行计算。 9。4．1 利用柱面坐标计算三重积分
设M（x，y，z）为空间内一点，并设点Ｍ在xOy面上的投影P的极坐标为ｒ,θ,则这样的三个数r，θ，z就叫做点M的柱面坐标[插图1]，这里规定r、θ、z的变化范围为：
0 ≤ r 〈 +∞，0 ≤θ≤ 2π,—∞ 〈 z 〈 ＋∞。三组坐标面分别为
r = 常数，即以ｚ轴为轴的圆柱面；θ=常数，即过z轴的半平面;z = 常数，即与xＯy面平行的平面。 显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为
(１）现在要把三重积分中的变量变换为柱面坐标。为此,用三组坐标面r ＝ 常
数,θ=常数，z ＝ 常数把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界的一些不规则小闭区域外,这种小闭区域都是柱体。考虑由r，θ，ｚ各取得微小增量ｄr，ｄθ,ｄｚ所成的柱体的体积[插图２］。柱体的高为ｄz、底面积在不计高阶无穷小时为r dr dθ(即极坐标系中的面积元素)，于是得dv ＝ r ｄｒ dθdｚ， 这就是柱面坐标中的体积元素。再注意到关系式（1），就有
(2）
其中F（r，θ,ｚ)= f（r ｃosθ,ｒ sｉnθ，z）。（2）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式.至于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算,则可化为三次积分来进行.化为三次积分时，积分限是根据r，θ,z在积分区域Ω中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明。 例1 利用柱面坐标计算三重积分
，其中Ω是由曲面ｚ = ｘ+y与平面z = 4所围成的闭区域。
２
2
解 把闭区域Ω投影到xOｙ面上，得半径为2的圆形闭区域D：0≤r≤２，0≤θ≤２π。在Ｄ内任取一点（ｒ，
22
θ）,过此点作平行于ｚ轴的直线，此直线通过曲面z = x+y穿入Ω内，然后通过平面ｚ = 4穿出Ω外。因此闭区域Ω可用不等式r2≤z≤4,０≤r≤2，0≤θ≤2π来表示。于是
９.4。2 利用球面坐标计算三重积分
设M(x,ｙ，z）为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定,其中r为原点O与点Ｍ间的距离,φ为有向线段
与z轴正向所夹的角，θ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段
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的
角,这里P为点M在xＯy面上的投影［插图3］.这样的三个数r，φ,θ叫做点Ｍ的球面坐标，这里r,φ，θ
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