0,x?3????，转求最值即可. 22x?2?2,1?x?3?????3x2?bx?2,x?1详解：（1）当a?2时，f?x??2x?1?x?bx ??2.
??x?bx?2,0?x?122?b??1??6由函数f?x?在?0,???上单调递增，得?，化简得b?2.
b??1??2∴实数b的取值范围b?2.
（2）当a??1且x?1,???时，f?x???x?1?x?bx?bx?1，
22?f?x?2????x?2??1??x?2??b?x?2?，
由f?x?2??f?x?得，??x?2??1??x?2??b?x?2??bx?1，
22220,x?3??化简得：2b?x?4x?3?x?4x?3 ??， 22x?2?2,1?x?3????22∴2b??2，解得b??1. ∴实数b的最大值是?1.
点睛：研究分段函数的单调性注意两点：（1）分析各段的单调性；（2）注意端点处取值的大小；恒成立问题处理手段首选变量分离，然后转最值即可.
222.已知各项为正的数列{an}满足a1?1，an?1?2an??.
（1）若??0，求a2，a3，a4的值；
?1?（2）若??3，证明：3????2?【答案】(1) a?2【解析】
n?2?an?3.
782，a3?2，a4?2 (2)见解析
342分析：(1)由a1?1与递推关系逐一求得各项；（2）分两步：先证明an?3，由an?1?9?2?an?3?易证明，
?1?再证明an?3????2?从而得证.
n?2，易证an?1?1，进而由
an?1?3221???可得3?an?1?3?an?1?，
an?3an?1?31?3222详解：（1）a1?1，??0，∴an?1?2an，又数列?an?各项为正.
2∴a2?2，a2?2；
a3?2a2?22?2，a3?2；
23234a42?2a3?2?2?2，a4?2.
2（2）??3时，an?1?2an?3.
347478（i）先证：an?3. ∵an?1?9?2?an?3?，∴
2an?1?32??0，
an?3an?1?3∴an?1?3与an?3同号，又a1?3?0，∴an?3?0，∴an?3.
?1?（ii）再证：an?3????2?∵a2n?1n?2.
an?1?3221???， ?2an?3?3，∴an?1?3?1，∴
an?3an?1?31?32当n?2时，3?an?1?3?an?1?， 2n?1?1?∴3?an??3?a1????2??1?∴an?3????2?n?2?1?????2?n?2，
n?2?1?.又a1?1，∴an?3????2?.
点睛：证明数列型不等式手段多样，本题利用循环递缩的方式即
11?3?an??3?an?1?，3?an??3?a1????2?2?的关系.
n?1?1?????2?n?2，由相邻的关系循环利用此关系得到第n项与首相
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