1
习 题 一
写出下列事件的样本空间： (1) 把一枚硬币抛掷一次； (2) 把一枚硬币连续抛掷两次；
(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；
(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M).
△ 解 (1) Ω={正面，反面}{正，反}
(2) Ω={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)} (3) Ω={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…} (4) Ω={x；0 ≤x≤ m}
掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A＝“偶数点”，
B＝“奇数点”，C＝“点数小于5”，D＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系. 解 Ω??1,2,3,4,5,6?,A??2,4,6?,B??1,3,5?,C??1,2,3,4?,D??2,4?. A与B为对立事件，即B＝A；B与D互不相容；A?D，C?D.
3. 事件Ai表示某个生产单位第i车间完成生产任务，i＝1，2，3，B表示至少有两个车间完成生产任务，C表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件B及B－C的含义，并且用Ai(i＝1，2，3)表示出来. 解 B表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. B?A1A2?A2A3?A1A3
B－C表示三个车间都完成生产任务 B?A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3
C?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 B?C?A1A2A3 4. 如图1－1，事件A、B、C都相容，即ABC≠Φ，把事件A＋B，A＋B＋C，AC＋B，C－AB用一些互不相容事件的和表示出来. 解 A?B?A?AB
图1－1
A?B?C?A?AB?A BC
AC?B?B?ABC
C?AB?A BC?ABC?ABC
5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.
解 两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A与D是对立事件，C与D是互不相容事件.
6.三个事件A、B、C的积是不可能事件，即ABC＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明. 解 不一定. A、B、C三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC＝Φ，但是A与B相容. 7. 事件A与B相容，记C＝AB，D＝A+B，F＝A－B. 说明事件A、C、D、F
图1－2
的关系.
解 由于AB?A?A+B，A－B?A?A+B，AB与A－B互不相容，且A＝AB＋(A－B). 因此有
A＝C+F，C与F互不相容， D?A?F，A?C.
8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.
11C3.而组成试验的样解 记事件A表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A的样本点数目＃A＝C5本点总数为＃Ω＝C52?3，由古典概率公式有
2
11C315#AC5P(A)＝ ??C8228#?(其中＃A，＃Ω分别表示有利于A的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)
9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.
解 设事件B表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件B的样本点数为＃B?C52.
C529P(B)?1－P(B)?1?2?
C81410. 抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面出现的概率.
解 设事件A表示“三次中既有正面又有反面出现”, 则A表示三次均为正面或三次均为反面出现. 而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此
P(A)?1?P(A)?1?＃A23?1?? #?8411. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.
解 设事件A表示“门锁能被打开”. 则事件A发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.
2C7＃A8P(A)?1?P(A)?1??1－2?
＃?C1015从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.
12. 一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：
(1)四张花色各异；
(2)四张中只有两种花色.
解 设事件A表示“四张花色各异”；B表示“四张中只有两种花色”.
41111#Ω?C52， #A?C13C13C13C13，
213122#B?C（＋C13C13 ） 4C2C13C13#A134P(A)??4?0.105
#ΩC52P(B)?#B6（7436＋6048）??0. 300 4#ΩC5213. 口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.
解 设事件A表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.
5313122#Ω?C10， #A＝C2(C3C5＋C3C5) 2C8＋C2 ＃A126P(A)＝＝＝0.5
＃Ω25214. 袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率： △ A＝“三次都是红球” “全红”，B＝“全白”， C＝“全黑”，D＝“无红”，E＝“无白”， F＝“无黑”，G＝“三次颜色全相同”， H＝“颜色全不相同”，I＝“颜色不全相同”. 解 ＃Ω＝33＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1，
＃D＝＃E＝＃F＝23＝8， ＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3，
＃H＝3！＝6，＃I＝＃Ω－＃G＝24
3
P(A)?P(B)?P(C)?1 27P(D)?P(E)?P(F)?8 27P(G)?3162248?,P(H)??,P(I)?? 27927927915. 一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.
解 设事件A表示“有4个人的生日在同一个月份”.
1112 ＃Ω＝126，＃A＝C64C12#A21780P(A)?＝＝0.0073 6#Ω1216. 事件A与B互不相容，计算P(A?B).
解 由于A与B互不相容，有AB＝Φ，P(AB)＝0
P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1. 17. 设事件B?A，求证P(B)≥P(A）. 证 ∵B?A
∴P(B-A)＝P(B) - P(A) ∵P(B-A)≥0 ∴P(B)≥P(A)
18. 已知P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0 (b＞0.3a)，
P(A－B)＝0.7a，求P(B+A)，P(B-A)，P(B＋A).
解 由于A－B与AB互不相容，且A＝(A-B)＋AB，因此有
P(AB)＝P(A)-P(A-B)＝0.3a
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7a＋b P(B-A)＝P(B)-P(AB)＝b-0.3a P(B＋A)＝1-P(AB)＝1-0.3a
19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.
3解 设事件A表示“取到废品”，则A表示没有取到废品，有利于事件A的样本点数目为＃A＝C46，因此
3C46＃A＝1－3 P(A)＝1-P(A)＝1-＃ΩC50 ＝0.2255
20. 已知事件B?A，P(A)＝lnb ≠ 0，P(B)＝lna，求a的取值范围.
解 因B?A，故P(B)≥P(A)，即lna≥lnb,?a≥b，又因P(A)＞0，P(B)≤1，可得b＞1，a≤e，综上分析a的取值范围是：
1＜b≤a≤e
21. 设事件A与B的概率都大于0，比较概率P(A)，P(AB)，
P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来). 解 由于对任何事件A，B，均有
AB?A?A+B
且P(A+B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)，P(AB)≥0，因此有 P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)＋P(B)
22. 一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算). 解 设事件A表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A的样本点数目为＃A＝364100，而样本空间中样本点总数为 ＃Ω＝365100，所求概率为
4
#A364100
P(A)?1?P(A)?1??1?#?365100 = 0.2399
23. 从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率. 解 设事件A表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则A表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.
1111#AC54C2C2C2C280P(A)??? 4#ΩC10210P(A)?1?P(A)?0.62
24. 某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，
从单位中任找一名职工求下列事件的概率： (1)该职工至少订阅一种报纸或期刊； (2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.
解 设事件A表示“任找的一名职工订阅报纸”，B表示“订阅杂志”，依题意P(A)＝0.92，P(B)＝0.93，P(B｜A)＝0.85
P(A＋B)＝P(A)＋P(AB)＝P(A)＋P(A)P(B｜A)
＝0.92＋0.08×0.85＝0.988
P(AB)＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.058
25. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A表示数学成绩优秀，B表示外语成绩
优秀，若P(A)＝P(B)＝0.4，P(AB)＝0.28，求P(A｜B)，P(B｜A)，P(A＋B).
P(AB)0.28解 P(A｜B)＝??0.7
P(B)0.4P(AB)P(B｜A)＝?0.7
P(A)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.52
26. 设A、B是两个随机事件. 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，
P(A｜B)＋P(A｜B)＝1. 求证P(AB)＝P(A)P(B). 证 ∵P ( A｜B)＋P (A｜B)＝1且P ( A｜B )＋P(A｜B)＝1
∴P ( A｜B )＝P (A｜B)
P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)?? P(B)1?P(B)P(B)P(AB)［1-P(B)］＝P( B)［P( A)-P( AB)］
整理可得
P(AB)＝P( A) P( B)
27. 设A与B独立，P( A)＝0.4，P( A＋B)＝0.7，求概率P (B). 解 P( A＋B)＝P(A)＋P(AB)＝P( A)＋P(A) P( B)
? 0.7＝0.4＋0.6P( B ) ? P( B )＝0.5
28. 设事件A与B的概率都大于0，如果A与B独立，问它们是否互不相容，为什么?
解 因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A与B独立，因此P ( AB )＝P ( A ) P ( B )＞0，故A与B不可能互不相容.
29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.
解 设事件Ai表示“使用1000小时后第i个元件没有坏”， i＝1，2，3，显然A1，A2，A3相互独立，事件A表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A＝A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8
32P( A)＝?P(A1)??3?P(A1)?P(A1)
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