5
＝0.83＋3×0.82×0.2 ＝0.896
30. 加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何
一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率. 解 设事件A表示“任取一个零件为合格品”，依题意A表示三道工序都合格.
P(A)＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.448
31. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话
给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数). 解 设事件Ai表示“第i次能打通”，i＝1，2，…，m，则
P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42 P(A2)＝0.58 × 0.42＝0.2436
－
P(Am)＝0.58m1 × 0.42
32. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自
己眼镜的概率.
1解 设Ai表示“第i人拿到自己眼镜”，i＝1,2,3,4. P ( Ai )＝，设事件B表示“每个人都没有拿到自己的
4眼镜”. 显然B则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且B＝A1＋A2＋A3＋A4.
P(B)＝P(A1＋A2＋A3＋A4) ＝?p(Ai)??P(AiAi)?i?11?i＜j?44?1?i＜j＜k?4P(AiAjAk)?P(A1A2A3A4)
P(AiAj)?P(Ai)P(Aj｜Ai)
111=??(1?i＜j?4) 4312P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜Ai)P(Ak｜AiAj)
1111=××?（1≤i＜j＜k≤4） 43224P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
×P(A4｜A1A2A3) 1111=???1? 432241111523P(B)?4??C4??C4???
412242483P(B)?1?P(B)?
833. 在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设Am＝“该数可以被m整除”，m＝2，3，求概率P(A2A3)，
P(A2＋A3)，P(A2－A3).
11解 依题意P(A2)＝，P(A3)＝
231P(A2A3)＝P(A6)＝
6P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3)
1112＝??? 2363111P(A2－A3)＝P(A2)－P(A2A3)＝??
26334. 甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的
概率：
(1)只有一人投中； (2)最多有一人投中；
6
(3)最少有一人投中.
解 设事件A、B、C分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A、B、C相互独立.设Ai表示“三人中有i人投中”，i＝0,1,2,3,依题意，
P(A0)?P(A B C)?P(A)P(B)P(C) ?0.2×0.3×0.4×?0.024
P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.8×0.7×0.6?0.336
P(A2)=P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)
=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6?0.452 (1) P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)－P(A3)
＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188
(2) P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.024＋0.188＝0.212 (3) P(A＋B＋C)＝P(A0)＝1－P (A0)＝0.976
35. 甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什
么?
解 设事件A2n-1B2n分别表示“甲在第2n－1次投中”与“乙在第2n次投中”，显然A1，B2，A3，B4，…相互独立.设事件A表示“甲先投中”.
P(A)?P(A1)?P(A1B2A3)?P(A1B2A3B4A5)??
?0.4＋0.6?0.5?0.4＋(0.6?0.5)2?0.4＋? 0.44 ??
1?0.37计算得知P(A)＞0.5，P(A)＜0.5，因此甲先投中的概率较大.
36. 某高校新生中，北京考生占30％，京外其他各地考生占70％，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占
80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.
解 设事件A表示“任选一名学生为北京考生”，B表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P(A)＝0.3，P(A)＝0.7，P(B｜A)＝0.8，P(B｜A)＝0.95. 由全概率公式有
P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P(A)P(B｜A)
＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.905
37. A地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A地的甲种疾病的发病率.
解 设事件A1，A2，A3分别表示从A地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A1，A2，A3两两互不相容，其和为Ω.设事件B表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：
P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2，
P(B｜A1)＝0.004，P(B｜A2)＝0.002，P(B｜A3)＝0.005
＝?P(Ai)P(B|Ai)
i?13＝ 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.005 ＝0.0035
38. 一个机床有三分之一的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3，加
工零件B时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率. 解 设事件A表示“机床加工零件A”，则A表示“机床加工零件B”，设事件B表示“机床停工”.
P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
12 ?0.3??0.4??0.37
3339. 有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋
内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球
7
的概率最大，为什么?
解 设事件Ai表示“第一次取到i号球”，Bi表示第二次取到i号球，i＝1，2，3.依题意，A1，A2，A3构成一个完全事件组.
11P(A1)?,P(A2)?P(A3)?
2411P(B1|A1)?,P(B2|A1)?P(B3|A1)?
2411P(B1|A2)?,P(B2|A2)?P(B3|A2)?
24111P(B1|A3)?,P(B2|A3)?,P(B3|A3)?
236311311应用全概率公式P(Bj)??P(Ai)P(Bj|Ai)可以依次计算出P(B1)?,P(B2)?,P(B3)?. 因此第二次
i?124848取到1号球的概率最大.
40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法
未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率. 解 设事件A表示“受检人患有甲种疾病”，B表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可知P(A)＝0.0035，应用贝叶斯公式
P(A)P(B|A) P(A|B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.0035?0.95 ?
0.0035?0.95＋0.9965?0.01 ?0.25
41. 甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5 : 3 : 2，各机床所加工的
零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.
解 设事件A1，A2，A3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B表示“废品”，应用贝叶斯公式有
P(A)P(B|A1)P(A1|B)?31
?P(Ai)P(B|Ai)i?10.5?0.063?
0.5?0.06＋0.3?0.1＋0.2?0.0574P(A1|B)?1?P(A1|B)?
742. 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，
乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.
解 设事件A1，A2，A3，A4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B表示“外出人如期到达”.
P(A)P(B|A2)P(A2|B)?42
?P(Ai)P(B|Ai) ?i?10.15?0.3
0.05?0?0.15?0.3?0.3?0.4?0.5?0.1 =0.209
43. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.
?
8
1，应用贝叶斯公式 211?P(A1)P(B1|A1)221P(A1|B1)???
1P(B1)2244. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有
次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率. 解 设事件Ai表示一箱中有i件次品，i＝0, 1, 2. B表示“抽取的10件中无次品”，先计算P ( B )
10102C99C981P(B)??P(Ai)P(B|Ai)??(1?10?10)
i?03C100C1001P(A0|B)??0.37
3P(B)45. 设一条昆虫生产n个卵的概率为
?n??pn?e n=0, 1, 2, …
n!解 39题计算知P(B1)＝
其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p(0＜p＜1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k条虫的概率是多少? 解 设事件An＝“一个虫产下几个卵”，n＝0，1，2….BR＝“该虫下一代有k条虫”，k＝0，1，….依题意
?n??P(An)?pn?e
n!0k＞n?P(Bk|An)??kkn?k
Cpq0?k?n?n其中q=1－p. 应用全概率公式有
P(Bk)??P(An)P(Bk|An)??P(An)P(Bk|An)
n?0n?k??n?n! ???e??pkqn?k k!(n?k)!n?ln!kn?k? (?p)e???(?q)
k!n?k(n?k)!由于?(?q)??(?q)?e?q，所以有
n?k(n?k)!n?k?0(n?k)!(?p)k???q(?p)p??pP(Bk)?ee?ek!kk?0,1,2,?
?n?k?n?k
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