经济数学基础-概率统计课后习题答案

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?1?e?1?0.632

21. 设随机变量Y服从［0, 5］上的均匀分布，求关于x的二次方程4x2＋4xY+Y+2=0有实数根的概率. 解 4x2+4xY+Y+2=0. 有实根的充分必要条件是

△＝b2－4ac =16Y2－16(Y+2)=16Y2－16Y－32≥0 设事件P(A)为所求概率.则

P(A)?P?16Y2?16Y?32?0??P?Y?2??P?Y??1? =0.6

22. 设随机变量X ～ f ( x )，

?f(x)??c?2,|x|＜1，?1?x ?0,其他.确定常数c，计算P??1??|X|?2??.

解 1??1c?1d1?x2x?carcsinx|1?1?cπ c =1π

11P??1?122?|X|?2????2? 1dx?arcsinx?12?1?x2?03 23. 设随机变量X的分布函数F ( x )为

?0,x＜0，F(x)???Ax,0＜x＜1,

??1,x?1.确定系数A，计算P?0?X?0.25?，求概率密度f ( x ).

解 连续型随机变量X的分布函数是连续函数，F (1)F (1－0)，有A＝1.

?f(x)??1?2x,0＜x＜1, ??0,其他.P?0?X?0.25??F(0.25)?F(0)?0.5

24. 求第20题中X的分布函数F ( x ) .

解 F(x)?P?X?x???x1?|t|??2edt 当t ≤ 0时，

F(x)??x11??etdt?2ex2

当t＞0时，

F(x)??x101x1??2e?|t|dt????2e?tdt??-t02edt

?1?1(1?e?x)?1?1e?x222

25. 函数(1+x2)－1

可否为连续型随机变量的分布函数，为什么? 解 不能是分布函数，因F (－∞)＝ 1 ≠ 0.

26. 随机变量X～f ( x )，并且f(x)?aπ(1?x2),确定a的值；求分布函数F ( x )；计算P?|X|＜1?.

＝14

aa?dx?arctanx????a 2π(1?x)π因此a =1

11xF(x)????dt?arctant?x? 2π(1?t)π11??arctanx 2π1111P?|X|＜1????1dx?2dx ?0π(1?x2)π(1?x2)21 ?arctanx01?

π227. 随机变量X的分布函数F ( x ) 为：

A?x＞2，?1?2, F(x)??x?x?2.?0,确定常数A的值，计算P?0?X?4?. 解 由F ( 2＋0 )＝F ( 2 )，可得

A1??0,A?4

4??解 1????P?0?X?4??P?0＜X?4??F(4)?F(0)

?0.75

A28. 随机变量X～f ( x )，f ( x )＝x?x,确定A的值；求分布函数F ( x ) .

e?exAe??解 1???dx?Adx ??x??e?e?x1?e2xπ? ?Aarcetxan?A ??22因此 A＝，

πF(x)??22dt?arctanett?t??π(e?e)πxx??

2 ?arctanex

π29. 随机变量X～f ( x )，

?2x?,f(x)??π2??0,0＜x＜a其他其他 .

确定a的值并求分布函数F ( x ) .

2xx2aa2解 1??2dx?20?2

πππ因此，a = π 当0＜x＜π时，

x2x2tF(x)?02dt?2

ππa0

15

??0,　　　　x?0F(x)??2?x2,　　　0＜x＜π?π

??1,　　　　x?π30. 随机变量X的分布函数为 ?0,x?0F(x)???)

?a2x2?2ax?2??1?2eax,x＞0(a＞0求X的概率密度并计算P???0＜X＜1?a??.

解 当x ≤ 0时，X的概率密度f ( x ) ＝0；

当x ＞ 0时，f ( x ) ＝F′ ( x )

?0x?0,f(x)??,??a3x2?ax

?2e,　x＞0.P???0＜x＜1?a???P???0＜x?1?1a???F(a)?F(0)

?1?52e?1?0.08

31. 随机变量X服从参数为0.7的0－1分布，求X2，X2－2X的概率分布.

解 X2仍服从0－1分布，且P { X2＝0 } ＝P { X＝0 } ＝0.3，P{X2＝1}＝P{X＝1}＝0.7

X2－2X的取值为－1与0 , P{X2－2X＝0} ＝P { X＝0 } ＝0.3

P { X2－2X＝－1 } ＝1－P { X＝0 } ＝0.7

32. 已知P { X＝10n } ＝P { X＝10-n }＝13n,n?1,2,?,

Y=lgX，求Y的概率分布. 解 Y的取值为±1, ±2 , …

P { Y=n } =P { lgX=n } =P { X=10n } =13

P { Y=－n } =P { lgX=－n } =P { x=10-n } ＝13

n＝1 , 2 , …

33. X服从［a , b］上的均匀分布，Y=ax+b (a≠0)，求证Y也服从均匀分布. 证 设Y的概率密度为fY ( y ) ，X的概率密度为fX ( x )，只要a ≠ 0，y = ax + b 都是x的单调函数. 当a ＞时，Y的取值为［a2+b , ab+b］,

x?h(y)?1a(y?b),h?(y)?x?1y?a f?h?(y)f(y)]?1Y(y)X[ha(b?a),y?[a2?b,ab?b],当y?[a2?b,ab?b]时，fY ( y ) =0.

类似地，若a＜0，则Y的取值为［ ab+b , a2+b ］

?f??1,ab?b?y?a2?b,Y(y)??a(b?a) ??0,其他.

0 16

因此，无论a＞0还是a＜0，ax+b均服从均匀分布. 34. 随机变量X服从［0 , 解 y=cosx在［0,

?］上的均匀分布Y=cosX , 求Y的概率密度fY ( y ). 2π］上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccosy 2?12πh′ ( y ) = , fx ( x ) = , 0 ≤ x ≤ . 因此

π21?y22?,?2fY(y)??π1?y?0，?0＜y＜1,其他.

35. 随机变量X服从(0 , 1)上的均匀分布，Y=ex , Z =｜lnX｜，分别求随机变量Y与Z的概率密度fY ( y ) 及

fZ ( z ) .

1解 y = ex 在(0 , 1)内单调 , x=lny可导，且x′y = , fX ( x ) =1

y0 ＜ x ＜ 1 , 因此有

?11＜y＜e,?,yfY(y)? ?0,　其他.?在(0 , 1)内lnx ＜ 0｜lnx｜=-lnx单调，且

x = e?z，x′z＝－e?z，因此有

?e?z，0＜z＜??,fz(z)??

0,其他.?36. 随机变量X～f ( x ) ， ?e?x,x＞0f(x)??

0,x?0?Y = X, Z = X2 , 分别计算随机变量Y与Z的概率密度fy ( y ) 与fZ ( z ) . 解 当x ＞ 0时，y =x单调，其反函数为x = y2 , x′y = 2y ?y＞0,?2ye?y,fY(y)??

?y?0.?0,2当x ＞ 0时z＝x2也是单调函数，其反函数为x =z , x′ z=?1?e?fz(z)??2z?0,?z12z

z＞0， z?0.37.随机变量X～f ( x )，当x ≥ 0时,f(x)?Z =

2, Y=arctanX ,

?(1?x2)1,分别计算随机变量Y与Z的概率密度fY ( y ) 与fz ( z ) . X?π?解 由于y = arctanx是单调函数，其反函数x=tany , x′ y=sec2y在??0,?内恒不为零，因此，当0 ＜ y ＜

?2?2时， π