21
计算结果列于下表
X P 0 0.4096 1 0.4096 2 0.1536 3 0.0256 4 0.0016 53. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率 ；至少命中3次的概率 . 解 记X为10次投篮中命中的次数，则 X～B ( 10 , 0.7 ) .
3P?X?3??C100.730.37?0.009
P?X?3??1?P?X?0??P?X?1??P?X?2? =1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38
≈0.9984
54．掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.
1解 掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X，则X～B（4，）.
62EX = np =
35由于np + p = ，其X的最可能值为［ np + p ］=0
65625 P?X?0??()4?61296500若计算P?X?1??，显然P?x?2?,P?x?3?,
1296P?x?4?概率更小.
55．已知随机变量X～B（n, p），并且EX=3，DX=2，写出X的全部可能取值，并计算P?X?8? . 解 根据二项分布的期望与方差公式，有
?np?3 ?npq?2?21，p=，n=9 . 33X的全部可能取值为0, 1, 2, 3, …, 9 . P?X?8??1?P?X?9?
1= 1－()9≈ 0.9999
356．随机变量X～B（n，p），EX=0.8，EX2=1.28，问X取什么值的概率最大，其概率值为何? 解 由于DX = EX2－(EX)2=0.64, EX=0.8, 即
?npq?0.64 ?np?0.8?解方程，得q=
解得 q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .
由于np+p=1，因此X取0与取1的概率最大，其概率值为 P?X?0??P?X?1??0.84?0.4096
57．随机变量X～B（n, p），Y=eaX，计算随机变量Y的期望EY和方差DY .
解 随机变量Y是X的函数，由于X是离散型随机变量，因此Y也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有
iin?iEY??eaiP｛X?i｝??eaiCnpqi?0ni?0i ??Cn(eap)iqn?i?(eap?q)ni?0nnEY??(e)P｛X?i｝i?0i ??Cn(e2ap)iqn?i?(e2ap?q)n i?0n2n
ai2
22
DY?(e2ap?q)n?(eap?q)2n
58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X，Y分别表示采用不放回抽样及
有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X，Y的概率分布以及期望和方差.
1解 X服从超几何分布，Y服从二项分布B（4，）.
2m4?mC26C26m1m14?mP｛X?m｝?(m?0,1,2,3,4)P｛Y?m｝?C4()()(m?0,1,2,3,4) 4C5222具体计算结果列于下面两个表中.
X P 0 46/833 2 6/16 1 208/833 3 4/16 4 1/16 2 325/833 3 4 208/833 46/833 Y P 0 1/16 1 4/16 N126?4??2N52NNN?n26264816 DX?n1?2??4????NNN?1525251171EY?np?4??2 DY?npq?1 259. 随机变量X服从参数为2的泊松分布，查表写出概率P｛X?m｝,m?0,1,2,3,4并与上题中的概率分布进
行比较.
EX?nX P 0 0.1353 1 0.2707 2 0.2707 3 0.1804 4 0.0902 60．从废品率是0.001的100000件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率.
解 设500件中废品件数为X，它是一个随机变量且X服从N=100000，N1=100，n=500的超几何分布.由于n相对于N较小，因此它可以用二项分布B（500，0.001）近似.又因在二项分布B（500，0.001）中，n=500比较大，而p=0.001非常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np=0.5.
?XP??0.001??P｛X?5｝?500 50.5m??e?0.5?0.999986m?0m!61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求： （1）产品的废品率； （2）产品价值的平均值
解 设X为一件产品表面上的疵点数目，
（1）P｛X＞4 ｝?1?P｛X?3｝?1??P｛X?m｝?0.0014
m?03（2）设一件产品的产值为Y元，它可以取值为0，8，10. EY?0?P｛Y?0｝?8?P｛Y?8｝?10?P｛Y?10｝ ?8P｛1＜X?4｝?10P｛X?1｝ ?8?0.1898?10?0.8088?9.61(元)
62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某
本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷
23
错误的概率.
解 设一页书上印刷错误为X，4页中没有印刷错误的页数为Y，依题意，P｛X?1 ｝?P｛X?2｝即 ?e??2!解得λ=2，即X服从λ=2的泊松分布.
p?P｛X?0｝?e?2 显然Y～B(4,e?2)
P｛Y?4｝?p4?e?8 63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，
??2e??
求粮仓内无鼠的概率.
解 设X为粮仓内老鼠数目，依题意
P｛X?1｝?2P｛X?2｝??2?e???2?? 2!e解得λ=1.
P｛X?0｝?e?1
64．上题中条件不变，求10个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.
解 接上题，设10个粮仓中有老鼠的粮仓数目为Y，则Y～B（10，P?｛X＞0｝?1?P｛X?0｝?1?e?1, q?e?1
P｛Y?2｝?P｛Y?0｝?P｛Y?1｝?P｛Y?2｝ ?e?8(36e?2?80e?1?45)
65．设随机变量X服从?2,3?上的均匀分布，计算E(2X)，D（2X），D(2X)2.
解 EX=2.5，DX=112,EX2?DX?(EX)2?7612
E(2X)=5，D(2X)=4DX=13，
D(2X)2?D(4X2)?16DX2?16?EX4?(EX2)2?EX4?? 34211 2xdx?5DX2?EX4?(EX2)2?211577615045?144?720
D(2X)2?16DX2?15044566．随机变量X服从标准正态分布，求概率
P｛X?3｝,P｛2.35?X?5｝,P｛X?1｝,P｛X??7｝. 解 P｛X?3｝?Φ(3?)0.99 8P｛2.35?X?5｝?Φ(5)?Φ(2.35)?0.0094
P｛X?1｝?Φ(1)?0.8413 P｛X??7｝?1?Φ(7)?0
67．随机变量X服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的a的数值：
（1）P｛X?a｝?0.9;；（2）P? X?a??0.9;
（3）P?X?a??0.97725;（4）P? X?a??0.1; 解 （1）P?X?a??Φ(a)?0.9，查表得a=1.28
（2）P? X?a??2Φ(a)?1?0.9，得Φ（a）=0.95， 查表得a=1.64
（3）P?X?a??Φ(a)?0.97725，查表得a =2
p），其中24
（4）P? X?a??2?(a)?1?0.1，得Φ (a)= 0.55， 查表得a = 0.13
68. 随机变量X服从正态分布N(5,22)，求概率P?5＜X＜8?,
P?X?0?,P? X?5＜2?.
?8?5??5?5?解 P?5＜X＜8?????????
?2??2??Φ(1.5)?Φ(0)?0.4332
P?X?0?????2.5??1???2.5??0.0062
?X?5?P? X?5＜2??P??1??2?(1)?1
?2?=0.6826
69．随机变量X服从正态分布N(?,?2)，若P?X＜9??0.975,
P?X＜2??0.062，计算μ和σ的值，求P?X＞6?.
?9???解 P?X＜9??????0.975
????2??????2?P?X＜2??????0.062, ????0.938
??????查表得：
?9???1.96??? ?
??2??1.54???解以μ和σ为未知量的方程组，得
μ =5.08，σ=2.
P?X＞6??1?P?X?6??1??(0.46)
=0.3228
70．已知随机变量X～N(10,22)，P?X?10＜c??0.95，P?X＜d??0.023，确定c和d的值.
?X?10c?＜? 解 P? X?10＜c??P?22???c? =2????1?0.95
?2??c? ????0.975，
?2?c查表得 ?1.96, c?3.92
2?d?10?P?X＜d??????0.023
?2??10?d???0.977 2??10?d?查表得 ? ?6 ???2, d2????71．假定随机变量X服从正态分布N(?,?2)，确定下列各概
率等式中a的数值：
（1）P???a?＜X＜??a???0.9; （2）P???a?＜X＜??a???0.95; （3）P???a?＜X＜??a???0.99;
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