33
510EXY??,Cov?X,Y???6910??1??37 ??3??189?μ??? V???51029???? ???36??6???9?22.计算第11题（3）中随机向量（X，Y）的协差矩阵V.
21解 EX???x · 1?x2dx?0 1π22112x14x22DX?EX???11?xdx??01?x2dx?ππ422yEY??02y?y2dy?1π 2522yEY2??02y?y2dy?π412DY?EY2??EY??4????22y?yxyEXY???????xyf?x,y?dxdy??0dy??2y?ydx?0
πCov?X,Y??EXY?EXEY?022?1? 0?4?V??? 1?0 ??4???
23．设随机向量（X，Y）～f（x,y）
?Axy2 0?x?2,0?y?1f?x,y???
其他 0 其他?求系数A，X的边缘概率密度f1(x)，并计算（X，Y）在以（0，0），（0，2），（2，1）为顶点的三角形
内取值的概率.
2A????122解 ?? ??fx,ydxdy?dyAxydx???????0032A?1, A?1.5 3当0≤x≤2时，
1fX?x???01.5xy2dy?0.5x 当x＜0或x＞2时，fX(x)=0
记所求概率为p，则有
12yp??0dy?01.5xy2dx?0.6
24．计算上题中随机向量（X，Y）的均值向量及协差矩阵.
4解 EX??020.5x2dx?
3
34
EX2??00.5x3dx?2,DX?EX??0dy?01.5xy2dx?12229343312EY2??0dy?01.5xy4dx?,DY?
58012EXY??0dy?01.5x2y3dx?1Cov?X,Y??0?2??4? 0?9??3?μ??? V???
?0 3??3???80??4????25．随机变量X与Y独立，且X服从［0，2］上的均匀分布，Y服从λ=2的指数分布，写出随机向量（X，
Y）的概率密度，计算概率P{X≤Y}.
?1?2e?2y, y ?x?2, ＞0?, 0解 fX?x???2 f Y?y??? 0 ?0, y ??0, 其他； ?由于X与Y独立，因此有
?e?2y,0?x?2,y＞0,f?x、y??fX?x?fY?y????0, 其他. P?X?Y????f?x,y? dxdy
x?y2??21 ? ?0 dx?xe?2ydy??0e?2xdx21 ? 1?e?4426．已知随机向量（X，Y）的协差矩阵V为
?4 6? ? V???6 9? ??
??计算随机向量（X+Y，X-Y）的协差矩阵.
解 D ( X+Y ) =DX+2Cov ( X，Y ) +DY = 25
D ( X-Y ) =DX-2Cov ( X，Y ) +DY = 1 Cov ( X+Y，X-Y ) = DX-DY = -5
?25 ?5? V??? ?5 1??27．设随机变量Y是X的线性函数，Y=aX+b，（a≠0），且随机变量X存在期望EX=μ，方差DX=σ2，求随
机向量（X，Y）的协差矩阵. 解 DY?a2DX?a2σ2
Cov?X,Y??Cov?X,aX?b??aDX?aσ2
?σ2 aσ2?V??222???aσ aσ??28．一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为5，10，15，20，25（单位：厘米），假定射击时弹着点的位
置为（X，Y），且（X，Y）服从二维正态分布，其密度为 1? 200 f?x,y??e200π现规定弹着点落入最小的圆域得5分，落入其他各圆环（从小到大）的得分依次为4分、3分、2分及1分，求1次射击的平均得分.
解 设随机变量W为一次射击的得分，则W可以取0，1，2，3，4，5各值.
x2?y2 35
P?W?0??x2?y2＞625??f?x,y?dxdy 令x?rcos?, y?rsin?
??d??2?0??25r? 200edr?0.0439200πr2同样方法可以计算出
P?W?1??0.091,4P?W?2??0.189,3
P?W?3??0.281,9P?W?4??0.276,0P?W?5??0.117.55 EW??iP?W?i??3.0072i?029．上题中设Z为弹着点到靶心的距离，求Z的概率密度fZ（z）及期望EZ. 解 依题意随机变量Z是X与Y的函数，且
Z?X2?Y2
当z＞0时，FZ?z??P?Z?z??令x=rcosθ，y=rsinθ
r2x2?y2?z2??? 1e200πx2?y2200dxdy
? r? 200FZ?z???d??edr?1?e200200π?z? z?e200, z＞0 fZ?z???100
? 0, z?0?2?0z02z22? ????zEZ????zfZ?z???0e200dz?52π10030．随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别是
?0??16 12???μ?? V??0??12 25?? ????z2求出密度函数f ( x, y) 的表示式 Cov?x,y?解 ???0.6
?1?22?25，ρ=0.6代入二维正态分布的概率密度公式，得 将μ1= μ2 =0，?12?16,?21e 32π31．设随机向量（X，Y）～f（x,y）， f?x,y??2x?3x?y?1???y?1??1??2????fx,y?e
2π求（X，Y）的均值向量与协差矩阵.
解 易见（X，Y）服从二维正态分布μ1=0，μ2=1且σ1，σ2，ρ满足下列等式：
?1?2?222(1??) ?1???2???3 ?22(1??) ??12??11??22??2(1??) ?222? 25?x23y2???xy??32?25??1650??12?解上面方程组，得?1?1,?2?2,???3 2
36
3?1?2??32
?1 ?3??0?μ??? V??????3 4?1???32．随机向量（X，Y）～f（x,y），确定A的值，并求X与Y的相关矩阵.其中
Cov?X,Y????1?2??f?x,y??Ae???x?5??8?x?5??y?3??25?y?3??
22????解法一： ??????f?x,y?dxdy
?A??????e???x?5??8?x?5??y?3??25?y?3??dxdy????2222???????x?5??4?y?3???9?y?3? ?A??dyeedx ????Aπ???Aπ???e?9?y?3?dy??133A?
π??3fY?y?????e???x?5??8?x?5??y?3??25?y?3??dxπ3?9?y?3? ?eπ12EY??2?3 DY??2?1893? 25?x?5???e类似地 fX?x?????f?x,y?dy? 5π25EX??1??5,DX??12?28????Cov?X,Y?????????x?5??y?3?f?x,y?dxdy22222 ?3???s?-??-?ste????2?8st?25t2?dsdt
???XY?29Cov?X,Y?DXDY??45计算表明X与Y的相关系数矩阵R为
4??1 ??5?R???
4?? 1????5?解法二：与31题解法相同，略.
33．随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为
? ?12 ??1?2???1?μ??? V??? 2???? ????2?2??12求随机向量（9X+Y，X-Y）的均值向量与协差矩阵. 解 E（9X+Y）=9EX+EY=9μ1+μ2
E（X-Y）=EX-EY=μ1-μ2
D（9X+Y）=81DX+18Cov ( X，Y ) +DY
2 ?81?12?18??1?2??2
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