专题20 相似三角形问题
一、比例
1．成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段
ac，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果作?（或a：b=c：d）
bdab为比例内项的是两条相同的线段，即?或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。
bc的长度的比相等，即
2．黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。 二、相似、相似三角形及其基本的理论
1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。 2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
3．三角形相似的判定方法
（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。 （3）两个三角形相似的判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 4．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用
②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 5．相似三角形的性质:
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
【例题1】（2020?河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（ ）
A．四边形NPMQ
B．四边形NPMR
C．四边形NHMQ
D．四边形NHMR
【对点练习】（2019广西北海）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣2，3）．
（1）画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）以点A为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△AB2C2，请在第二象限内画出△AB2C2； （3）直接写出以点 A1，B1，C1为顶点，以 A1B1为的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【例题2】（2019·广西贺州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若
AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【对点练习】（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（ ）
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