2007年-2010年新课标高考数学（理科）试题分类精编
第15部分-椭圆
一.选择题
1.(2008年山东理10)设椭圆C1的离心率为
5，焦点在x轴上且长轴长为26．若曲线C2上的点到椭圆C1的13两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）
x2y2A．2?2?1
43x2y2B．2?2?1
135x2y2C．2?2?1
34x2y2D．2?2?1
1312解：对于椭圆C1，a?13,c?5,曲线C2为双曲线，c?5,a?4，b?3,
x2y2标准方程为：2?2?1.
43二.填空题
1.(2009年江苏13)如图，在平面直角坐标系xoy中，
x2y2?2?1(a?b?0)的四个顶点，FA1,A2,B1,B为椭圆22ab焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .学[解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的以及直线的方程。 直线A1B2的方程为：直线B1F的方程为：
为其右交点M科网 计算等。
xy??1； ?abxy2acb(a?c)??1。二者联立解得：T(,)， c?ba?ca?cx2y2acb(a?c),)在椭圆2?2?1(a?b?0)上， 则M(aba?c2(a?c)c2(a?c)2??1,c2?10ac?3a2?0,e2?10e?3?0，解得：e?27?5 22(a?c)4(a?c)2.(2009年广东理11)巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 ．
3，且G上一点到G的2
x2y23??1. 【解析】e?，2a?12，a?6，b?3，则所求椭圆方程为
3692x2y23.(2009年上海理9)已知F1、F2是椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，
ab且PF1F2的面积为9，则b=____________.1?PF2.若?PF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
?|PF1|?|PF2|?2a?【答案】3【解析】依题意，有?|PF1|?|PF2|?18，可得4c2＋36＝4a2，
?222?|PF1|?|PF2|?4c即a2－c2＝9，故有b＝3。
x2y24.(2008年江苏12)在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)的焦距为2c，以O为圆心，a为
ab?a2?半径作圆M，若过P?，0?作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ▲
?c?【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以
△OAP 是
a2c2?2a，解得e??等腰直角三角形，故． ca2【答案】三.解答题
1.(2010年陕西理20)（本小题满分13分）
2 2如图，椭圆C：焦点为F1,F2, | A1B1| =
,
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
的顶点为
A1,A2,B1,B2,
(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、交于A,B两点的直线，使
，是否存在
与椭圆相上述直线l
成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
解 （1）由由
222知a2+b2=7, ①
知a=2c, ②
又b=a-c ③
由 ①②③解得a=4,b=3,故椭圆C的方程为
（2）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)假设使垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,
22。
成立的直线l不存在，当l不
由l与n垂直相交于P点且∵
得,
[来源:学。科。网]
，即m2=k2+1.
2.（2010年全国理20）（本小题满分12分）
x2y2iE相交于A,B设F1,F2分别是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线与
ab两点，且AF2,AB,BF2成等差数列。
（1）求E的离心率；（2） 设点p(0,?1)满足PA?PB，求E的方程 解：（I）由椭圆定义知AF2?BF2?AB?4a，又2AB?AF2?BF2， 得AB?4al的方程为y?x?c，其中c?a2?b2。 3?y?x?c?设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则A、B两点坐标满足方程组?x2y2
?2?2?1?ab2222ac?b?? ?2ac2222222化简的?a?b?x?2acx?a?c?b??0则x1?x2?2,xx?12a?b2a2?b2因为直线AB斜率为1，所以AB?22x2?x1?2??x1?x2??4x1x2?
??44ab2ca2?b2222,a?2b得a?2故所以E的离心率 e???23a?baa2cx1?x2?a2c2y?x?c??2??c（II）设AB的中点为N?x0,y0?，由（I）知x0?，。 00232a?b3
由PA?PB，得kPN??1，即
y0?1??1得c?3，从而a?32,b?3 x0x2y2??1。 故椭圆E的方程为
1893.(2010年天津理20)(本小题满分12分)
x2y23已知椭圆2?2?1(a＞b＞0)的离心率e?，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
ab2(Ⅰ)求椭圆的方程：
(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B。已知点A的坐标为(-a，0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂
????????直平分线上，且QA?QB=4。求y0的值。
【命题意图】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。 【解析】（1）解：由e?c322222，得3a?4c，再由c?a?b，得a?2b ?a2由题意可知，
?a?2b1?2a?2b?4,即ab?2解方程组? 得 a=2,b=1 2ab?2?x2?y2?1 所以椭圆的方程为4(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
?y?k(x?2)?于是A,B两点的坐标满足方程组?x2 2??y?1?4由方程组消去Y并整理，得(1?4k2)x2?16k2x?(16k2?4)?0
16k2?42?8k24k,x?,从而y?, 由?2x1?得112221?4k1?4k1?4k8k22k,) 设线段AB是中点为M，则M的坐标为(?1?4k21?4k2以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是
QA?(?2,?y0),QB?(2,?y0）由QA?QB=4，得y0=?22
????
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