第九章 最优化方法要点

或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于x；若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。

x3+cosx+xlogx例6 计算函数f(x)=在区间(0,1)内的最小值。 xe在命令窗口输入：

>> [x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1) 输出结果为：

x = 0.5223 fval = 0.3974 exitflag = 1 output = iterations: 8 funcCount: 9

algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation' message: [1x112 char]

表明该函数在x =0.5223时取最小值0.3974。 ezplot('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1) 为简化输出结果，可输入：

>> [x,fval]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1) 9.3.2 无约束多元函数极（最）小值

在MATLAB中使用fminsearch函数和fminunc函数求无约束多元函数的极（最）小值。

（1）fminsearch函数 该函数的调用格式为：

[x,fval,exitflag,output]= fminsearch(fun,x0,options)

其中输入参数fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义的M函数，x0为初始点，options为指定优化参数选项；输出参数x为多元函数的最小值点，fval为最小值，exitflag和output与单变量情形一致。

332例7 求y=2x1的最小值点。 +4x1x2-10x1x2+x2在命令窗口输入：

>> [x,fval]=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2', [0,0]) 输出结果为：

x =

1.0016 0.8335 fval = -3.3241

表明当x1=1.0016，x2=0.8335时函数的最小值为-3.3241。

（2）fminunc函数 该函数的调用格式为：

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc (fun,x0,options)

其中输入参数fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义的M函数，x0为初始点，options为指定优化参数选项；输出参数x为多元函数的最小值点，fval为最小值，exitflag和output与单变量情形一致，grad为函数在解x处的梯度值，hessian为目标函数在解x处的海赛（Hessian）值。

fminsearch利用了单纯形法的原理，fminunc利用了拟牛顿法的原理。当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好，这两个函数都容易陷入局部优化，并且结果的正确与否还要取决于初值点x0的选取。

利用fiminunc求例7的最小值。 在名利窗口输入：

>>[x,fval]=fminunc('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',[0.5,0.5]) 输出结果为：

x =

1.0016 0.8335

fval = -3.3241

此结果和fminsearch函数的求解结果一样。 9.3.3有约束的多元函数最小值

非线性有约束的多元函数的标准形式为：

minxf(x)

ìC(x)￡0????Ceq(x)=0??s.t ?xb íA祝??Aeq?xbeq??????lb＃xub其中：x,b,beq,lb,ub是向量，A,Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。

在MATLAB用fmincon函数，求有约束的多元函数的最小值，其调用格式有：

x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) [x,fval] = fmincon(…) [x,fval,exitflag] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(…)

其中fun为目标函数，它可用前面的方法定义；x0为初始值；A、b满足线

xb，若没有不等式约束，则取A=[]，b=[]；Aeq、beq满足等性不等式约束A祝式约束Aeq?xbeq，若没有，则取Aeq=[]，beq=[]；lb、ub满足lb＃xub，

若没有界，可设lb=[]，ub=[]；nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束C(x)￡0和等式约束Ceq(x)=0分别在x处的估计C和Ceq，通过M文件建立，如：

>>x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function [C,Ceq] = mycon(x)

C = … % 计算x处的非线性不等约束C(x)￡0的函数值。 Ceq = … % 计算x处的非线性等式约束Ceq(x)=0的函数值。 输出参数x为多元函数的最小值点，fval为最小值，exitflag和output与单变量情形一致，lambda是Lagrange乘子，它体现哪一个约束有效，grad为函数在解x处的梯度值，hessian为目标函数在解x处的海赛（Hessian）值。

例8 求下面问题在初始点x=(10, 10, 10)处的最优解。 min f(x)=-x1x2x3 sub.to 0?x12x2+2x3?72

解：约束条件的标准形式为 sub.to -x1-2x2-2x3?0

x1+2x2+2x3?72

在命令窗口输入： >> fun= '-x(1)*x(2)*x(3)'; x0=[10,10,10]; A=[-1 -2 -2;1 2 2]; b=[0;72];

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b) 输出结果为：

Optimization terminated: magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon.

Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006):