《3.2立体几何中的向量方法》教学案1

《立体几何中的向量方法空间距离》教学案

教学目标

利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．

教学重点与难点

利用向量方法求解空间距离问题.

教学过程

[

例1如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．

解：如图，设CD?4i，CB?4j，CG?2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．

由题设C(0，0，0)，A(4，4，0)，B(0，4，0)，D(4，0，0)，E(2，4，0)，F(4，2，0)，G(0，0，2)．

∴ BE?(2,0,0)，BF?(4,?2,0)， BG?(0,?4,2)，GE?(2,4,?2)，

EF?(2,?2,0)．

设BM?平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得BM?aBE?bBF?cBG(a?b?c?1)，

∴ BM?a(2,0,0)?b(4,?2,0)?c(0,?4,2)＝(2a+4b，－2b－4c，2c)． 由BM平面EFG，得BM?GE，BM?EF，于是 ? BM?G?E0，BM?EF?0．

?(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,4,?2)?0?∴ ?(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,?2,0)?0

?a?b?c?1?15?a??11a?5c?0??7??整理得：?a?3b?2c?0，解得?b??．

11?a?b?c?1??3?c??11?∴ BM＝(2a+4b，－2b－4c，2c)＝(222226,,)． 111111211?2??2??6?∴ |BM|?????????? 11?11??11??11?故点B到平面EFG的距离为

211． 11说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．

例2已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，求直线DA'与AC的距离．

分析：设异面直线DA'、AC的公垂线是直线l，则线段AA'在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．

解：如图，设B'A'?i，B'C'?j，B'B?k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系B'－xyz，则有

A'(1,0,0)，D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1)．

∴ DA'?(0,?1,?1)，AC?(?1,1,0)，

A'A?(0,0,1)．

设n?(x,y,z)是直线l方向上的单位向量，则

x2?y2?z2?1．

∵ n?DA'， n?AC，

??y?z?0?33∴ ??x?y?0，解得x?． y??z?或x?y??z??33?x2?y2?z2?1?取n?(333,,?)，则向量A'A在直线l上的投影为 333 n·A'A?(333(,0,1)??3． ·0,,?)3333由两个向量的数量积的几何意义知，直线DA'与AC的距离为

33．

向量的内积与二面角的计算

在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题(见[1]，p53)要求证明如下的公式：

cos??cos?cos??sin?sin?cos?, (1)

其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内.

?AON??，?BON??， ?AOB??.?为二面角P-MN-Q(见图1).

zDPA?a

yN?MO??bxBQ图1

公式(1)可以利用向量的内积来加以证明：

以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系. 记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则OD?MN，得

?AOD??2??，?DOx??，?DOz??2??.

????分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量a，b，则a,b??.

??由计算知a，b的坐标分别为

(sin?cos?,cos?,sin?sin?)，(sin?,cos?,0)，

于是，

????a?b??a?b?cos?cos??sin?sin?cos?. cos???|a|?|b|公式(1)在立体几何计算二面角的平面角时是有用的.我们来介绍如下的两个应用. 例1．立方体ABCD-A1B1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1

C1、B1B的中点.

求面EFG和面GHI的夹角?的大小(用反三角函数表示).

解 由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位.这样就使平面EFG平移至平面HIG?.而?就是二面角G-IH-G?(见图3).利用公式(1)，只要知道了?，?和?的大小，我们就能求出?.

D1EGA1B1HC1

FDICAB图2

由已知条件，所以?????GHI和?HIG?均为等边三角形，因此，

D1EGA1B1HG'C1?3，而???GIG???2.

FDICAB图3

cos即

??coscos?sinsincos?，

23333????0?1133???cos?. 2222解得

11cos???， ????arccos.

33当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角?来.

例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角?的大小.

解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶