阶段质量检测(二)
(A卷 学业水平达标) (时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
ruuuruuuruuu1．在五边形ABCDE中(如图)，AB＋BC－DC＝( )
uuurA．AC
uuurC．BD
答案：B
uuur B．AD
uuur D．BE
2．(全国大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1), n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 C．－2 答案：B
3．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( ) A.C.ππ B. 64ππ D. 32
B．－3 D．－1
答案：B
uuur4．在△ABC中，D为BC边的中点，已知AB＝a， uuuruuurAC＝b，则下列向量中与AD同向的是( )
A.C.
a＋bab B.＋ |a＋b||a||b|a－baa D.－ |a－b||a||b|
答案：A
uuuruuuruuuruuurruuuruuu5．已知边长为1的正三角形ABC中，BC·CA＋CA·AB＋AB·BC的值为( )
1A. 2
1
B．－
2
3C. 2答案：D
3
D．－
2
uuur1uuur2uuuruuuruuur6．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足OB＝OA＋OC，则|AB|∶|BC|
3
3
＝( )
A．1∶3 C．1∶2 答案：D
B．3∶1 D．2∶1
ruuuruuuuuruuuruuuruuuur7．P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的( )
A．内心 C．垂心 答案：C
8．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 C.2 D.答案：C
9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，
2 2
B．2 B．外心 D．重心
uuuruuur则MA·MD＝( )
A．1 答案：B
10.如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任
B．2 C．3 D．4
uuuruuuruuur意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值是( )
99
A. B．9 C．－ D．－9 22答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
uuuruuur11．在直角坐标系xOy中，AB＝(2,1)，AC＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，
则k的值为________．
答案：－6或－1
uuuruuur12．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则AE·BD＝________.
答案：1
13．如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域(不含边界)内
uuuruuuruuur1
运动，且OP＝xOA＋yOB，则x的取值范围是______．当x＝－时，y的取值范围是
2
________．
?13?答案：(－∞，0) ?，? ?22?
14．在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的等价条件
uuuruuuruuuruuur为存在唯一实数λ，使得OC＝λOA＋(1－λ)OB成立，此时称实数λ为“向量OC关
uuuruuuruuur于OA和OB的终点共线分解系数”．若已知P1(3,1)，P2(－1,3)，且向量OP3与向量a＝(1,1)
uuuruuuruuur垂直，则“向量OP3关于OP1和OP2的终点共线分解系数”为________．
答案：－1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解：(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x) ＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0， 解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)， ∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2；
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)， ∴a－b＝(2，－4)， ∴|a－b|＝4＋16＝25. 综上所述，|a－b|为2或25.
2
uuuruuur16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，H，M分别是AD，
DC的中点，BF＝BC.
13
uuuuruuur(1)以a，b为基底表示向量AM与HF；
uuuuruuur(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求AM·HF.
解：(1)∵M为DC的中点，
ruuuruuuuuuur1uuur∴DM＝DC，又DC＝AB，
2
uuuuruuuruuuuruuur1uuur1
∴AM＝AD＋DM＝AD＋AB＝a＋b，
2
2
uuuruuur1
∵H为AD的中点，BF＝BC，BC＝AD，
3
uuur1uuuruuur1uuur∴AH＝AD，BF＝AD，
2
3
uuuruuuruuuruuur∴HF＝HA＋AB＋BF
ruuur1uuur1uuu＝－AD＋AB＋AD
2
3
uuur1uuur1＝AB－AD＝a－b.
6
6
(2)由已知得a·b＝3×4×cos 120°＝－6，
uuuuruuur?1?1?AM·HF＝?2a＋b??·?a－6b?
????
1?12?12
＝a＋?1－?a·b－b 26?12?111122
＝×3＋×(－6)－×4 212611＝－.
3
17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
uuuruuuruuur(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．
uuuruuur解：(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，
rruuuruuuuuuruuu则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．
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