2016-2017学年高中数学阶段质量检测(二)新人教A版必修4

解析：①a·b＝a·c?a·(b－c)＝0，表明a与b－c向量垂直，不一定有b＝c，所以①不正确；对于②，当a∥b时，1×6＋2k＝0，则k＝－3，所以②正确；结合平行四边形法则知，若|a|＝|b|＝|a－b|，则|a|，|b|，|a－b|可构成一正三角形，那么a＋b与a的夹角为30°，而非60°，所以③错误．

答案：②

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

uuuruuur15．(本小题满分12分)已知OA＝a，OB＝b，对于任意点M关于A点的对称点为S，S点关于B点的对称点为N.

uuuur(1)用a，b表示向量MN；

uuuur(2)设|a|＝1，|b|＝2，|MN|∈[23，27]，求a与b的夹角θ的取值范围．

解：(1)依题意，知A为MS的中点，B为NS的中点．

uuuruuuruuuruur∴SN＝2SB，SM＝2SA.

ruuuruuuruuruuuruuuruuuuruuuuuur∴MN＝SN－SM＝2(SB－SA)＝2AB＝2(OB－OA)＝2(b－a)．

uuuur(2)∵|MN|∈[23，27]， uuuur2

2

∴MN∈[12,28]，∴12≤4(b－a)≤28.

∴3≤4＋1－2a·b≤7，∴－1≤a·b≤1.

a·ba·b11

∵cos θ＝＝，∴－≤cos θ≤.

|a||b|222

π2π?π2π?∵0≤θ≤π，∴≤θ≤，即θ的取值范围为?，?.

3?33?3

1

16．(本小题满分12分)已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝

2

AB.

求证：AC⊥BC.

证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图， 设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．

uuuruuur∴BC＝(－1,1)，AC＝(1,1)， uuuruuuruuuruuurBC·AC＝－1×1＋1×1＝0，∴BC⊥AC，

∴BC⊥AC.

17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos 2x)，b＝(1＋sin 2x，π??1)，x∈R，且y＝f(x)的图象经过点?，2?.求实数m的值．

?4?

解：f(x)＝a·b＝m(1＋sin 2x)＋cos 2x，

π?π?π??由已知得f??＝m?1＋sin?＋cos＝2， 2?2?4??解得m＝1.

18．(本小题满分14分)(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角；

uuuruuuruuuruuuruuuruuurOB＝(3,1)，OC＝(6,3)，(2)设OA＝(2,5)，在OC上是否存在点M，使MA⊥MB？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a－4a·b－3b＝61. ∵|a|＝4，|b|＝3， ∴a·b＝－6，

2

2

a·b－61

∴cos θ＝＝＝－，

|a||b|4×32

∴θ＝120°.

uuuuruuur(2)假设存在点M，且OM＝λOC＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)， uuuruuur∴MA＝(2－6λ，5－3λ)，MB＝(3－6λ，1－3λ)，

∴(2－6λ)×(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， 1112

∴45λ－48λ＋11＝0，得λ＝或λ＝.

315

uuuuruuuur?2211?∴OM＝(2,1)或OM＝?，?.

?55?

?2211?∴存在M(2,1)或M?，?满足题意. ?55?