2.5 平面向量应用举例
A级：基础巩固练
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( ) →→
→→
→→
→→
A．BD＝CE C．BE＝BC 答案 D
→→
解析 ∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，即DE与BC共线．
→→→→→→1
2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，AO＝(AB＋AC)，且|OA|＝|AB|，则BA·BC为( )
2A．1 C．－1 答案 A
1
解析 由题意知，O为BC的中点，且∠ABC＝60°，|BC|＝2，|AB|＝1，∴BA·BC＝1×2×
2＝1.
3．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则人骑自行车逆风行驶的速度为( ) A．v1－v2 C．|v1|－|v2| 答案 B
解析 对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，人骑自行车逆风行驶的速度为v1＋v2，因此选B.
→→→→
→?AB?ABAC1?＋AC?·BC＝0，
4．已知非零向量AB与AC满足且·＝，则△ABC为( )
→→→→2???|AB||AC|?|AB||AC|
→
→
A．三边均不相等的三角形 C．等腰非等边三角形 答案 D
B．直角三角形 D．等边三角形 B．v1＋v2 D．??
→
→
→→
B．3 D．－3 →
B．BD与CE共线 D．DE与BC共线
?v1??v2?
→??→
AC?＋?·BC＝0，∴∠A的平分线所在的向量与BC垂直，所以△ABC为等
解析 ∵
?→→??|AB||AC|?
→
腰三角形．又→·
→AB→
AB→
AC11π
＝，∴cosA＝，∴∠A＝.故△ABC为等边三角形． →223|AC|
→
2
2
|AB|
5．已知直线x＋y＝a与圆x＋y＝2交于A，B两点，O是坐标原点，C是圆上一点，若OA→→
＋OB＝OC，则a的值为( )
A．±1 C．±3 答案 A
B．±2 D．±2
解析 如图，连接AC，BC，可知四边形OACB是菱形，OC⊥AB，所以原点O到直线AB的距离等于半径的一半，即
二、填空题
6．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走303 m到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是东偏北________．
答案 60 60°
→→
→
→→
解析 如图所示，此人的位移是OB＝OA＋AB，且OA⊥AB，
2
，进而可得a＝±1. 2
→则|OB|＝
→
2
→
2
|OA|＋|AB|→
＝60(m)，
|AB|
tan∠BOA＝＝3.∴∠BOA＝60°.
→
|OA|
1??7．已知向量a＝(6,2)，b＝?－4，?，过点A(3，－1)且与向量a＋2b平行的直线l的方2??程为________．
答案 3x＋2y－7＝0
3??解析 a＋2b＝(6,2)＋(－8,1)＝(－2,3)＝－2?1，－?，∴过A(3，－1)且与向量a＋2b2??3
平行的直线l的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋2y－7＝0.
2
8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的1
面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
2
答案 ?
?π，5π?
?6??6
1
2
解析 以α，β为邻边的平行四边形的面积为
S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，
1111
所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以
2|β|2|β|22
?π5π?θ∈?，?. 6??6
三、解答题
→
9．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若AB→＝a，AD＝b.
→
→
(1)试以a，b为基底表示BE，DF； (2)求证：A，G，C三点共线． 1
解 (1)BE＝AE－AB＝b－a，
2→→→
→
→→
DF＝AF－AD＝a－b.
→
→→
→
→
12
(2)证明：D，G，F三点共线，则DG＝λDF，
AG＝AD＋λDF＝λa＋(1－λ)b.
→
→→
→
→
12
B，G，E三点共线，则BG＝μBE， AG＝AB＋μBE＝(1－μ)a＋μb，
1??2λ＝1－μ，
由平面向量基本定理知?1
1－λ＝μ，??2→
12
2
解得λ＝μ＝，
3
→
11
∴AG＝(a＋b)＝AC，所以A，G，C三点共线．
33
10．今有一小船位于d＝60 m宽的河边P处，从这里起，在下游l＝80 m处河流变成瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5 m/s，如图，为了使小船能3??安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？?sin37°＝?
5??
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