2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
文科数学
注意事项:
1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.
2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息. 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(共50分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集为R, 函数f(x)?1?x的定义域为M, 则CRM为 (A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (??,1] 2. 已知向量 a?(1,m),b?(m,2), 若a//b, 则实数m等于
(A) ?2 (C) ?2或2 (B) (D) 0
2
(D) [1,??)
3. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是
(A) logab·logcb?logca (C) loga(bc)?logab?logac
(B) logab·logaa?logab (D) loga(b?c)?logab?logac
4. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为
输入x (A) 25 If x≤50 Then y = 0.5 * x (B) 30
Else (C) 31
y = 25 + 0.6*(x-50) (D) 61 End If 输出y
5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为
(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45 6. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是
(A) 若z2?0, 则z是实数 z2?0, 则z是虚数
(B) 若
1
(C) 若z是虚数, 则z2?0 (D) 若z是纯虚数, 则z2?0
7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 (A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2 7. 已知点M(a,b)在圆O:x2?y2?1外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是
(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定
7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosC?ccosB?asinA, 则△ABC的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有
(A) [－x] = －[x] (C) [2x] = 2[x]
(B) [x +
1] = [x] 21(D) [x]?[x?]?[2x]
2
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
x2y211. 双曲线??1的离心率为 .
16912. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 13. 观察下列等式:
(1?1)?2?1(2?1)(2?2)?22?1?3(3?1)(3?2)(3?3)?23?1?3?540m…
照此规律, 第n个等式可为 .
14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m).
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 设a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式|x?a|?|x?b|?2的解集是 .
x40mB. (几何证明选做题) 如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知?A??C, PD = 2DA = 2, 则PE = . ?x?t2C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线? (t为参数)的焦点坐标
y?2t?CBDPEA是 .
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)
1已知向量a?(cosx,?),b?(3sinx,cos2x),x?R, 设函数f(x)?a·b.
2 (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
2
???(Ⅱ) 求f (x) 在?0,?上的最大值和最小值.
?2?
17. (本小题满分12分) 设Sn表示数列{an}的前n项和.
(Ⅰ) 若{an}为等差数列, 推导Sn的计算公式;
1?qn(Ⅱ) 若a1?1,q?0, 且对所有正整数n, 有Sn?. 判断{an}是否为等比数列.
1?q
18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?2.
D1A1B1C1DAOBC
(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
19. (本小题满分12分)
有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:
组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 人数 A B 6 C D E 50 100 150 150 50 抽取人数 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.
20. (本小题满分13分)
已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.
3
21. (本小题满分14分) 已知函数f(x)?ex,x?R. (Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线y?12x2?x?1有唯一公共点. (Ⅲ) 设a b?a的大小, 并说明理由. 4
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