全国初中数学比赛试题及答案

13（乙）．给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150?？并说明理由．

14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数x1，x2，　，x2012，满足x1?x2??x2012，且

12??x1x2?2012?n. x201214（乙）．将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c （可以相同），使得ab?c，求n的最小值．

参考解答

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一、选择题

1(甲) .C

解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知

b?a?0?c，且b?c，

所以

a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a．

1（乙）．B 解：1?12?13?a?1?2?111?2?1?11?1??1?2?1?2．

2?12?2?12（甲）．D

解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一

个交点的坐标为（3，2）.

2（乙）．B

解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤(x?1)2?(y?1)2≤2. 因为x，y均为整数，所以有

2222??(x?1)?0，??(x?1)?0，??(x?1)?1，??(x?1)?1， ? ? ? ?2222??(y?1)?0；??(y?1)?1；??(y?1)?0；??(y?1)?1.解得

?x?1，?x?1，?x?1，?x?0，?x?0，?x?0，?x?2，?x?2，?x?2， ? ? ? ? ? ? ? ? ?y?1；y?2；y?0；y?1；y?0；y?2；y?1；y?0；y?2.?????????

以上共计9对. （x，y）3（甲）．D

解：由题设知，1?a?1?a?b?1?2a?b，所以这四个数据的平均数为

1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b， ?44(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 ， ?244?4a?2b3?4a?2b1于是 ??.

4443（乙）．B

解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. 由于AC = BC，CD = CE，

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，

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所以△BCD≌△ACE， BD = AE.

又因为?ADC?30?，所以?ADE?90?. 在Rt△ADE中，AE?5，AD?3， 于是DE=4（甲）．D

解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得

AE2?AD2?4，所以CD = DE = 4.

?x?2?n(y?2)， ??y?n?2(x?n)，消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =

(2y?7)?1515?1?.

2y?72y?7因为

15为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从

2y?7而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．

4（乙）．C

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为?q?0，故方程的根为一正一负．由二次函数y?x?px?q的图象知，当x?3时，y?0，所以3?3p?q?0，即 3p?q?9. 由于p，q都是正整数，所以p?1，1≤q≤5；或 p?2，1≤q≤2，此时都有??p?4q?0. 于是共有7组（p，q）符合题意．

5（甲）．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以

222p0?98910，因此p3最大． ，p1?，p2?，p3?363636365（乙）．C

解：因为a?b?ab?1?(a?1)(b?1)，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则

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11x?1?(1?1)(?1)(?1)23

1(?1)， 100解得 x?1?101，x?100．

二、填空题

6（甲）．7＜x≤19

解：前四次操作的结果分别为

3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.

由已知得 27x－26≤487， 81x－80＞487.

解得 7＜x≤19.

容易验证，当7＜x≤19时，3x?2≤487 9x?8≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19．

6（乙）.7

11110???两边乘以a?b?c?9得 a?bb?cc?a9cabcab???7 3????10即

a?bb?cc?aa?bb?cc?a解：在

7（甲）．8

解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN，所以

ADANDN2???， BFNFBN12由此得AN?2NF，所以AN?AF.

3在Rt△ABF中，因为AB?2a，BF?a，所以

AF?AB2?BF2?5a，

于是 cos?BAF?AB25. ?AF5由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ?AED??AFB，

?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90. 于是 AM?AE?cos?BAF?25a， 5245MN?AN?AM?AF?AM?a，

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