四川省绵阳市高中2019届高三第三次诊断性考试数学(理)

由

??2????2，得

???3．

f(x)?sin(2x?)3． ∴

?f(x?)?sin[2(x?)?]?sin(2x?)4436， ∴

sin(2x?)6． ………………………………6分 即函数y=g(x)的解析式为g(x)=A?B?g(C?)?12

3（Ⅱ）∵ 2sin2=，

??????∴ 1-cos(A+B)=1+sin(2C+2)，

?∵ cos(A+B)=-cosC，sin(2C+2)=cos2C，

于是上式变为cosC=cos2C，即cosC=2cosC-1，整理得2cosC-cosC-1=0，

2

2

1解得cosC=2或1（舍），

?2?3∴ C=．

c由正弦定理得：sinC=2R=4，解得c=23，

1a2?b2?12?2ab于是由余弦定理得：cosC=2=，

∴ a+b=12-ab≥2ab，

∴ ab≤4(当且仅当a=b时等号成立)．

2

2

31∴ S△ABC=2absinC=4ab≤3．

∴ △ABC的面积的最大值为3． ………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，

∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，

解得d=2．……………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，

·9·

11111?(?)aa(2n?1)(2n?1)22n?12n?1∴ nn?1=． 1111???????aaa2a3a3a4anan?1

∴ Tn=1211111111(1???????????)335572n?12n?1 =2111(1?)2n?1≥3， =212(m?5m)18又∵ 不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立，

112(m?5m)∴ 3≥18，

化简得：m-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．

∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………8分 （Ⅲ）由d=2，得 an=a1+2n-2，

2

bn?又∵

2?an2an=1+an=

1?1an?1?12，

f(x)?1?又函数

1a1??a1????，1?1?，??????x?a1?1在?2?和?2?上分别是单调减函数，

且

x?1?a1ax?1?12时y<1；2时y>1．

∵ 对任意的n∈N*，都有bn≤b4成立，

∴ 3<

1?a12<4，

解得-6

c3?2． 20．解：（Ⅰ）由题可得：e=a∵ 以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+2=0相切，

0?0?2∴ 12?122

2

2

=b，解得b=1．

再由 a=b+c，可解得：a=2．

·10·

x2?y2?1∴ 椭圆的标准方程为4．……………………………………………5分

32?（Ⅱ）当直线的斜率为0时，OP?OQ=-4?[5，9]，不成立；

?∵ 直线的斜率不为0，设P(x1，y1)(y1>0)，Q(x2，y2)(y2<0)， 直线的方程可设为：x=my+1，

x2?y2?122

代入椭圆方程4得：(m+4)y+2my-3=0

?2m?322∴ y1+y2=m?4，y1y2=m?4， 4?4m22而x1x2=(my1+1)(my2+1)=m?4， 1?4m22∴ OP?OQ=x1x2+y1y2=m?4，

31?4m221??22

即5≤m?4≤9，解得2≤m≤1；

∵ PM?(x1?1)2?y12?m2?1?y1；MQ?(x2?1)2?y22??m2?1?y2；

又∵ |PM|?|MQ|?tPM?MQ?t|PM|?|MQ|，

t?∴

1|MQ||PM|?1?y?y1111?)??2m2?1y1y2m2?1y1?y2 1(?1m?12??(y2?y1)2?4y1y2y1?y2

4m2?3??23m?1 14m2?3?3m2?1

?421?23m?1， 1424212

∴ 当2≤m≤1时，解得3≤t≤9．…………………………………

13分

·11·

e2x(2x?1)?x221．解：（Ⅰ）∵ f(x) =，

11(，??)?(x)f22∴ 当2x-1>0，即x>时，>0，于是f (x)在上单调递增； 11(??，)?2上单调递减． ∴ 当2x-1<0，即x<2时，f(x)<0，于是 (x)在

∵ m>0，∴ m+2>2．

11①m≤2≤m+2，即0

111f (x)在(m，2)上单减，在(2，m+2)上单增，∴f (x)min=f (2)=2e； 1e2m②当m>2时，f (x)在[m，m+2]上单调递增，∴f (x)min=f (m)=m； 11e2m∴ 综上所述：当02时，f (x)min=m．

……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）构造F(x)=f (x)-g(x)(x>1)，

e2x?t?2tlnx?t?0x则由题意得F(x)=(x>1)， 2xe2x?e2x?t2t(2x?1)(e2x?t)?F?(x) =x2x=x2(x>1)， ?22x

①当t≤e时，e-t≥0成立，则x>1时，F(x)≥0，

即F(x)在(1，??)上单增，

1212ee2

∴ F(1)=e-2t≥0，即t≤2，故t≤2．

11?2

②当t>e时 ，F(x)=0得x=2或2lnt．

11∴ F(x)在(1，2lnt)上单减，在(2lnt，+?)上单增， 11∴ F(x)min=F(2lnt)=-2tln(2lnt)-t<0．∴不成立．

·12·