高中数学中基本不等式的最值问题

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高中数学中基本不等式的最值问题

作者：钱雪琴

来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第06期

摘 要：本文通过基本不等式的典型题目的教学，让学生体会到如何在数学题目的千变万化中，抓住数学思想的本质内涵，以不变应万变，灵活地解决数学问题，从而更好地提高课堂效率，减轻学生负担.

关键词：基本不等式；最值；方法？摇

高三的复习课对课堂效率提出了更高的要求，老师需要对课堂进行准确的调控，对复习题进行合理的安排，以更好地提高课堂教学效率，减轻学生的学习负担. 在课前的准备中，题目的选取是其中关键的一步，而题目的选取又取决于题目难度的循序渐进，既要考虑到学生对已有知识的掌握程度，又要考虑到学生能否通过典型题目的练习与训练，达到温故而知新的目的，加深学生对题目的理解程度，从而提高学生对数学学习的兴趣，锻炼学生思维的深度与广度.

在教学基本不等式时，学生对于概念的掌握比较轻松，ab≤■（a>0，b>0），能够总结三点要求，做到一正，即a>0，b>0；二定，即a+b能取到最小值时，ab为定值，或者ab能取到最大值时，a+b为定值；三相等，当且仅当a=b时，等号成立. 在熟练掌握了这三个条件后，要求学生能够顺利解决各类基本不等式的问题. 但是，实际上，有些问题在运用基本不等式时，会有多种解题方法与思路，而有些解题方法看似简单，实则不具有解题的完备性和代表性，这里充分体现了基本不等式知识点的灵活性. 其中有一类基本不等式问题，形式相似，但是却遇到了适合各自的不同的解题方法，不妨看下面几道题目. 例1 已知a>0，b>0，a+b-ab=0，求a+b的最小值.

解法一：由a+b-ab=0？圯a+b=ab. 因为a+b≥2■，所以ab≥2■？圯ab≥4.所以a+b≥4，当且仅当a=b时，等号成立.

解法二：由a+b-ab=0？圯■+■=1，则a+b=（a+b）■+■=1+■+■+1≥4. 当且仅当■=■，即a=b时，等号成立.

解法三：由a+b-ab=0？圯a=■，则a+b=■+b=■=■=b-1+■+2≥4，当且仅当a=b=2时，等号成立.

解法一中，直接利用基本不等式，由已知条件出发，利用不等式的传递性，直接找到已知条件与求解之间的关系，学生比较容易想到，属于解基本不等式中的基本方法. 解法二中，在运用基本不等式时借助了“1”的代换，也是从已知条件出发，结合求解式子的特征，巧妙地运用了基本不等式特殊的结构，在这儿虽然“1”的代换的方法具有一定的技巧性，但是便于学生