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函数的奇偶性典型例题
一、关于函数的奇偶性的定义.
定义说明：对于函数f(x)的定义域内任意一个x：
⑴f(?x)?f(x) ?f(x)是偶函数； ⑵f(?x)??f(x)?f(x)奇函数；
函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
二、函数的奇偶性的几个性质
①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； ③、可逆性： f(?x)?f(x) ?f(x)是偶函数；
f(?x)??f(x)?f(x)奇函数；
④、等价性：f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0
f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0
⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；
⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、
非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查f(x)是否与?f(x)、f(x) 相等，判断步骤如下：
①、定义域是否关于原点对称；
②、数量关系f(?x)??f(x)哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
42 ⑴、f(x)?x?2x ⑵、f(x)?2x?3x
3x3?x22⑶、f(x)? ⑷、f(x)?x x???1,2?
x?1;.
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⑸、f(x)?x?2?2?x ⑹、f(x)?x2?1?1?x2
解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数
⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
?x2(x?0)例2：判断函数f(x)??的奇偶性。 2??x(x?0)解:f(0)?02??f(x)
当x?0,即?x?0时,有f(?x)??(?x)2??x2??f(x)当x?0,即?x?0时,有f(?x)?(?x)??(?x)??f(x)?总有f(?x)?f(x),故f(x)为奇函数.22
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分
条件。
此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。
命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。
?f(x),(f(x)?0此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=?不能保证f(-x)=f(x)或
?f(x),(f(x)?0),?f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。
如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。
命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶
;.
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函数。
?x,(x?2n,n?N)此命题错误。如函数f(x)=?2 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点
x,(x?2n?1,n?N)?对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。
命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。 此命题正确。由函数奇偶性易证。
命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。 此命题正确。由奇函数的定义易证。
命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根
之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。 此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。
五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。
六、关于奇偶函数的图像特征
例1：已知偶函数y?f(x)在y轴右则时的图像如图（一）试画出函数y轴右则的图像。
Y Y 1 1 1 2 0 X -2 -1 1 2 X 图（一） 图（二）
七、关于函数奇偶性的简单应用
1、利用奇偶性求函数值
例1：已知f(x)?x?ax?bx?8且f(?2)?10，那么f(2)?
2、利用奇偶性比较大小
53;.
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例2：已知偶函数f(x)在???,0?上为减函数，比较f(?5)，f(1)，f(3)的大小。 3.利用奇偶性求解析式
例3：已知f(x)为偶函数当0?x?1时,f(x)?1?x,当?1?x?0时，求f(x)的解析式？
4、利用奇偶性讨论函数的单调性
例4：若f(x)?(k?2)x?(k?3)x?3是偶函数，讨论函数f(x)的单调区间？
5、利用奇偶性判断函数的奇偶性
例5：已知函数f(x)?ax?bx?cx(a?0)是偶函数，判断g(x)?ax?bx?cx的奇偶
性。
6、利用奇偶性求参数的值
例6：定义在R上的偶函数f(x)在(??,0)是单调递减，若f(2a?a?1)?f(3a?2a?1)，则a的取值范围是如何？
7、利用图像解题
例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,是 .
8.利用定义解题 例8.已知函数f(x)?a?
则不等式f?x??0的解
22323221.，若f?x?为奇函数，则a?________。 2x?1;.
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