2020年中考数学二轮重难题型突破二 二次函数与角度问题

类型二 二次函数与角度问题

2y?ax?bx?c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）例1、已知抛物线，与y轴交于点C(0，3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y?x?5经过D、M两点.

（1） 求此抛物线的解析式；

（2）连接AM、AC、BC，试比较?MAB和?ACB的大小，并说明你的理由.

【答案】解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），

∴设点D的坐标为(x，3) ． ∵直线y= x+5经过D点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ．

根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y）， 又∵直线y= x+5经过M点， ∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）．

∴设抛物线的解析式为y?a(x?1)?4． ∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．

即抛物线的解析式为y??x?2x?3．…………3分 （2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N． 由（1）中抛物线y??x?2x?3可得

点A（－3，0），B（1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC=32． ∴∠PAB＝45°．

∵∠ABP=45°，∴PA=PB=22． ∴PC=AC－PA=2．

222PB在Rt△BPC中，tan∠BCP=PC=2．

在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．

MNtan∠NAM=AN=2．

∴∠BCP＝∠NAM．

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即∠ACB＝∠MAB．

例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?3经过点N（2,－5），过点N作x

轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6. （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为

直角三角形时，求点P的坐标；

（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，y2求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

2【答案】解：（1）∵y?ax?bx?3过点M、N（2，－5），MN?6， 由题意，得M（?4，?5）.

8765432112345678x?4a?2b?3??5,∴?

16a?4b?3??5.?解得 ??a??1,

?b??2.2-8-7-6-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10∴此抛物线的解析式为y??x?2x?3. …………………………………2分 （2）设抛物线的对称轴x??1交MN于点G，

若△DMN为直角三角形，则GD1?GD2?1MN?3. 2y∴D1（?1，?2），D2（?1，?8）. ………………………………………4分 直线MD1为y?x?1，直线MD2为y??x?9.

2将P（x，?x?2x?3）分别代入直线MD1，

COP1D1xNMD2的解析式，

2

MGD2得?x2?2x?3?x?1①，?x2?2x?3??x?9②. 解①得 x1?1，x2??4（舍），

∴P1（1,0）. …………………………………5分 解②得 x3?3，x4??4（舍），

∴P2（3,－12）. ……………………………6分 （3）设存在点Q（x，?x2?2x?3），

使得∠QMN=∠CNM.

① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN， 交MN于点H，则

QCOxNyQH?tan?CNM?4. MHMH即?x2?2x?3?5?（. 4x?4）解得x1??2，x2??4（舍）.

∴Q1（?2，3）. ……………………………7分 ② 若点Q在MN下方，

同理可得Q2（6，?45）. …………………8分

2例3、平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?4ax?4a?c与x轴交于点A、点B，与y

轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D． (1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；

(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A?，若QA?QB?2，

求点Q的坐标和此时△QAA?的面积．

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