（浙江专用）2020版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式2.5绝对值不等式讲义（含解析）

§2.5 绝对值不等式

最新考纲 1.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式求－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 2.了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 最值是考查的重点；高考中绝对值不等式和数列、函数的结合是常见题型，解答题居多，难度为中高档. 考情考向分析

1．绝对值三角不等式

(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：

不等式 |x|a

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 概念方法微思考

|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式有哪些解法？各体现了什么数学思想？

提示 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

1

a>0 (－a，a) a＝0 ? a<0 ? R (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．( × ) (2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}．( × ) (3)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的条件是ab≥0.( √ ) (4)若ab<0，则|a＋b|<|a－b|.( √ )

(5)对一切x∈R，不等式|x－a|＋|x－b|>|a－b|恒成立．( 题组二 教材改编

2．[P20T7]不等式3<|5－2x|≤9的解集为( ) A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7] C．(－2，－1]∪[4,7) D．[－2,1)∪(4,7]

答案 D

解析 由题意得??

?

|2x－5|≤9，??|2x－5|>3，

即??

?－9≤2x－5≤9，??2x－5>3或2x－5<－3，

解得???

－2≤x≤7，?∪(4,7]．

?x>4或x<1，

不等式的解集为[－2,1)3．[P20T8]不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( ) A．(－∞，4) B．(－∞，1) C．(1,4) D．(1,5)

答案 A

解析 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立， ∴x≤1.

②当1

③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2， ∴4＜2，∴此时无解．

综上，原不等式的解集为(－∞，4)．

) 2

×题组三 易错自纠

4．(2018·浙江源清中学月考)已知a，b∈R，则“|a＋b|≤3”是“|a|＋|b|≤3”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B

解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴由|a|＋|b|≤3可得|a＋b|≤3， 又当a＝－4，b＝2时，|a＋b|≤3成立， 而|a|＋|b|≤3不成立，

故“|a＋b|≤3”是“|a|＋|b|≤3”的必要不充分条件．

5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是( ) A．[2,4] C．[－2,4] 答案 C

解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，

则|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.

12

6．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是

2______． 1??答案 ?－1，? 2??

解析 设y＝|2x－1|＋|x＋2|

B．[1,2] D．[－4，－2] B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

?1?－x＋3，－2≤x<，

2＝?

1

3x＋1，x≥.??2

－3x－1，x<－2，

当x<－2时，y＝－3x－1>5； 15

当－2≤x<时，＜y＝－x＋3≤5；

2215

当x≥时，y＝3x＋1≥，

22

5故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.

2

3

12

因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a＋a＋2对任意实数x恒成立，

2521

所以≥a＋a＋2.

22

5211解不等式≥a＋a＋2，得－1≤a≤，

2221??故实数a的取值范围为?－1，?.

2??

题型一 绝对值不等式的解法

1．(2018·浙江嘉兴七校期中)不等式1≤|2x－1|＜2的解集为( )

?1??3?A.?－，0?∪?1，?

?2??2??1??3?C.?－，0?∪?1，? ?2??2?

答案 C

?13?B.?－，? ?22?

D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

解析 不等式等价于1≤2x－1<2或－2<2x－1≤－1， 31

解得1≤x<或－＜x≤0.

22

2．(2018·宁波北仑中学期中)若关于x的不等式|x－1|－|x－3|>a－3a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是( ) A．12 答案 B

解析 ∵(|x－1|－|x－3|)max＝2， 3－173＋172

∴a－3a<2，得

3．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为______________． 答案 {x|x≤－3或x≥2}

解析 方法一 要去掉绝对值符号，需要对x与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．

B.

3－173＋17

2

D．a≤1或a≥2

4