8 阅读与欣赏（七）
关注立体几何中的动态问题
立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等；求解方法一般根据圆锥曲线的定义判断动点轨迹是什么样的曲线；利用空间向量的坐标运算求轨迹的长度等． 一、常见题目类型
(2018·金华十校高考模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，π
记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是
3( )
A．圆的一部分 C．抛物线的一部分
B．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
【解析】 把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原π
问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为，点P在平面A1B1C1D1
3的投影为圆的一部分，
因为点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)， 所以点P的轨迹是椭圆的一部分．故选B. 【答案】 B
(2018·浙江名校协作体高三联考)已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且
AB＝1，AD＝CD＝2.ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为( ) 41648A. B. C.π D.π 3393
【解析】 根据题意，以D为原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图1所示，则B(2，1，0)，C(0，2，0)，设M(x，0，z)，易知直线MB，
MC与平面ADEF所成的角分别为∠AMB，∠DMC，均为锐角，且∠AMB＝∠DMC，所以sin∠AMB＝sin∠DMC?2
ABCD?8?222222
＝，即2MB＝MC，因此2（2－x）＋1＋z＝x＋2＋z，整理得?x－?MBMC?3?
164?8?2
＋z＝，由此可得，点M在正方形ADEF内的轨迹是以点O?，0，0?为圆心，半径为的圆
93?3?
ππ44
弧M1M2，如图2所示，易知圆心角∠M1OM2＝，所以lM1M2＝×＝π.故选C.
3339
1
【答案】 C
(2018·杭州市高考模拟)
在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC中点，N为AC中点，
D为BC边上一个动点，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，点A在面BCD上
的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是( ) A．线段NO为定长 C．∠AMO＋∠ADB>180°
B．|CO|∈[1，2) D．点O的轨迹是圆弧
【解析】 如图所示，对于A，△AOC为直角三角形，ON为斜边AC上1
的中线，ON＝AC为定长，即A正确；对于B，D在M时，AO＝1，CO2＝1，所以|CO|∈[1，2)，即正确；对于D，由A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确，故选C. 【答案】 C
求解立体几何中的轨迹问题时，首先要探究点的轨迹的形成过程，同时还要注意动点的性质以及点、线、面之间的位置关系，若动点的性质满足解析几何中圆锥曲线的定义，也可借助定义求出轨迹． 二、巩固提高
(1)(2018·台州市高考模拟)如图，在棱长为2的正四面体A-BCD中，E、
F分别为直线AB、CD上的动点，且|EF|＝3.若记EF中点P的轨迹为L，
则|L|等于________．(注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积)
(2)(2018·宁波诺丁汉大学附中高三期中考试)如图，矩形ABCD中，
AB＝1，BC＝3，将△ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在?
13??10
，?内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为________．
2??2
解析：(1)如图，当E为AB中点时，F分别在C，D处，满足|EF|＝3，此时EF的中点P在EC，ED的中点P1，P2的位置上；当F为CD中点时，
2
E分别在A，B处，满足|EF|＝3，此时EF的中点P在BF，AF的中点P3，P4的位置上，连接P1P2，P3P4相交于点O，则四点P1，P2，P3，P4共圆，圆心为O，圆的半径为，则EF中点P的
11
轨迹L为以O为圆心，以为半径的圆，其测度|L|＝2π×＝π.
22(2)过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，A′E. 因为矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3， 所以AE＝
37
，CE＝. 22
3
为半径的圆弧．∠A′EA为二面角A-BD-A′的平面角． 2
12
所以A点的轨迹为以E为圆心，以
以E为原点，以EB，EA′所在直线为x轴，y轴建立如图所示空间直角坐标系E-xyz，设∠A′EA＝θ， 则A?0，
?
?
33
cos θ，sin θ22
3???
?，C?－1，－，0?，
2???
5＋3cos θ
， 2
所以AC＝所以10≤ 2
3322
1＋（cos θ＋1）＋sinθ＝44
5＋3cos θ131
≤，解得0≤cos θ≤， 222
所以60°≤θ≤90°，所以A点轨迹的圆心角为30°， π33π
所以A点轨迹的长度为·＝.
6212
答案：(1)π (2)
3π 12
精美句子
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3
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4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了 6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。 一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
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