普通高中课程标准实验教科书人教版数学必修4

普通高中课程标准实验教科书（人教版） 数学 必修4 第一章 三角函数

1.6 三角函数模型的简单应用（第1课时）

一、教学预设

1．教学标准

（1）通过对温度变化曲线的探究，学生学会由图象求解析式的方法，体会不同的三角函数模型在解决具体问题中的不同作用；

（2）通过借助《几何画板》，帮助学生分析问题中的数量关系，引导学生从图的特点发现各个量之间的关系，体验将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型的过程，学生会用三角函数的知识和方法解决简单实际问题；

（3）通过对例题中辅助元素的修改和整合，渗透问题的人文气息和数学的文化价值，激发学生的学习兴趣，学生能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

2．标准解析

（1）内容解析：本节内容是在前面学习了三角函数的概念、性质与图象之后，专门设置了三角函数模型的应用，其目的是为了加强用三角函数模型来刻画周期变化规律的实际问题，以提高学生解决实际问题的能力.根据教材的安排，本节内容的4个例题共分两个课时，本节课是第一课时，考虑到例1是围绕根据图象建立三角函数解析式，例3是将实际问题抽象出三角函数的模型问题，为系统展示三角函数的应用广泛性和真实性，选择了例1和例3作为示例.

根据以上分析，本节课的教学重点确定为： ①用三角函数模型刻画温度随时间变化的规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题；

②对房屋采光与楼间距的关系的探究，将实际问题抽象为三角函数的模型问题.

（2）学情诊断：本节课是三角函数的应用，数学问题的载体都是具有实际意义与生活背景的，本节课的两个问题是具有一定的广泛性和真实性的，如何引导学生从生活中的实际来抽出三角函数的模型，以及对应的数量关系是本节课成败的关键所在.在问题1的探究中，学生已掌握了三角函数的概念与性质，理解y?Asin(?x??)的图象及变换，因此在求解析式中对A、?的求解应该不是问题，但是对?，b的求解就容易出错，因为?的值不唯一，b的变化是针对于整体图象的移动，有别于前面的图象平移，所以在处理此问题一定要重点引导，加以区别强调；为了体现数学的实用性，即由图象求得解析式后，解析式有什么用，在这里我拓展了第三小题“求出十一月份的近似温度”.在问题2的探究中，其实际问题的背景比较复杂，需要学生具备一定的综合性知识以及理解水平，在“太阳高度角”的理解可能比较费劲，这样我借助《几何画板》来展示形成过程，就可以迎刃而解了.

根据以上分析，本节课的教学难点确定为：

对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型. （3）教学对策：首先是本节课选用“青岛宜居”为认知背景，围绕宜居的两个基本要素“自然气候”与“人居环境”，创设有效的情景来牵引出教材的例1“温度曲线”与例3“日照采光系数”这两个例题，使得导入过程清新而自然，让学生在不知不觉中感受从现实生活中发现周

期变化的规律的全过程；其次是对教材进行“再加工”，在保留了教材中的基本模型的基础上，对辅助元素进行修改，将地点改为青岛，将一天温度改为全年平均气温，使得数据更加真实合理，并采用“青岛为何宜居”为线索，引出“宜人的自然气候与和谐的人居环境”这两大成因，使得建模过程切实而自然，让学生在强烈的人文气息的氛围中体验实际问题抽象为三角函数模型问题的全过程，感知数学的文化价值；第三是借助《几何画板》突破地理知识（如“太阳高度角”、南北回归线的纬度数等），并利用计算机链接网络、计算器处理数据，突出三角函数的工具作用，使得信息技术与教学内容的整合过程适切而自然，让学生在真实的数学背景中，体会三角函数是描述周期变化现象的一种重要函数模型.

（3）教学流程： 问题引路 探源启思 分层设问 合情探究 互动分享 二、教学简录

【投影显示】2014年3月8日，中国城市竞争力研究会在香港发布了中国十佳宜居城市排行榜. 在对国内289个城市进行调查、研究、评价后，结果青岛市排名第一位.

师：下面让我们一起走进美丽的青岛（展示图片）.青岛为什么能被评为“最佳”呢？尽管原因有很多，但主要的有两个：一是宜人的气候环境；二是和谐的人文环境.

1．宜人的气候环境——得天独厚的地理位置造就了宜人的自然气候

【投影显示】青岛位于山东半岛南端，黄海之滨，是一座独具特色的海滨城市，她位于北纬35°，属北温带季风气候. 受海洋环境影响，青岛四季分明，降水适中，夏无酷暑，冬无严寒，气候非常宜人.

问题1：据资料显示，青岛从2月份到8月份的平均温度如下图所示.

（1）由图指出，青岛市从2月份到8月份的最高温度是多少？最低温度又是多少？ 【问题探究】

y（摄氏度） 生：最高温度28摄氏度，最低温度4摄氏度.

师：好的，那么这条曲线好像似曾相识，它是我们以前学28过哪个函数图象的一部分？

16生：三角函数的图象.

师：对，所以今天我们来学习“三角函数模型的简单应用”.

4（2）若青岛全年每月的平均温度符合函数

O2 58x（月份） y?Asin(?x??)?b,A?0，请写出一个具体的函数解析式.

（学生求解过程略）

【问题拓展】你能否推算出青岛十一月份的平均温度？（学生推算过程略）

师：青岛十一月份的平均温度为16摄氏度，由此看来青岛的气候确实宜人. 但是，一个城市的发展能不能光靠天然的气候呢？

生：当然不能，还需要很多其他的东西，如人文环境等方面……

师：很好，俗话说三分天注定，七分靠打拼. 一个城市的发展更重要的是依赖人为的建设. 在这一点上，我们来看看青岛是怎样做的？

【评析】激活教材例题，融入生活实际的背景资料，抽象出数学问题，体现了本节课的主题思想. 第（1）问，通过观察，让学生学会看图、识图，利用图来解决问题；第（2）问，主要体现让学生通过数形结合的思想掌握A、b、?、?的求法；“问题拓展”既让学生掌握

了已知函数式求值的方法，又引导学生学会如何利用所求的函数解决实际问题.

2．和谐的人文环境——人性化的管理理念打造出舒适的人居环境

作为沿海城市，青岛城市建设的管理是非常严格的. 例如在《青岛市建筑规划管理办法》中规定：在盖新楼时，所盖新楼的第一层的正午的太阳光全年不得被前面的楼房遮挡，用来保证新旧楼的采光与通风.

问题2：依照上述《管理办法》规定，如果要在青岛地区的一幢高为h0的楼房北面盖一栋新楼，为保证所盖新楼的第一层的正午的太阳光全年不被前面的楼房遮挡，你知道这两楼之间的间距不应小于多少吗？

【评析】从不同的生活背景资料中抽象出不同的问题，用不同的问题来构建不同的数学模型，更加体现数学知识应用的广泛性.

【问题探究】

师：两楼间距与大楼的影长有何关系？ 生：间距要不小于影长.

师：一栋楼房正午的影长是由什么来决定？ 生：楼高和太阳高度角. 师：某地正午太阳高度角是否恒定？它与哪些元素有关系，有什么样的关系？请看相关资料.

【评析】通过问题串的方式推进，使学生感受到数学的逻辑推理过程.

相关资料：地球表面某地正午太阳高度角为?（太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角），?为此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是??90o????. 其中当地的夏半年?取正值，冬半年?取负值.

【评析】实际问题解决有时候是需要综合应用多学科知识的，这更有利于培养学生的综合素质，锻炼学生分析、解决问题能力.

师：你能否解释该关系式的来历？若?大于?为定值时，当?变化时，?是怎么变化的？影长又是怎样变化的呢？