另我们将g??按r的负幂次方展开后，（10）式可以写为：
?2?2??2cos2??2?dt? ds??1??????3??rr??2?2?2???2sin2?12??2?48?3?2?dr ??1???????23??rrr????2??22??2sin2??222?22?rd???1?2??rsin?d??2 （20） ??1?cos????23????rrr????当r??时比较g00和?中含r?1次的项，按（11）式得：
1?2?2GM （21） ?1?rr??3令参数??GM，得r?r?。但上式实际上仅是将细圆环的质量集中在中心点时的牛顿引力势的对应关系，不是细圆环的引力势。为了得到质量细圆环分布的引力势，必须考虑高阶项。在取到r按（11）、（19）和（20）式，就得到：
项后，
2GM2GM?2cos2?2GM2GMb2(0.5?2.75sin2??)??1?? 1? （22） rr?r3r?3因此考虑高阶近似后，上式两边的函数形式一般不一样。说明一般而言当r??时，在高阶近似下爱因斯坦引力理论与牛顿理论一般仍然无法自动达到渐近一致。为了使二者渐近一致，还要做进一步的变换，以下我们来讨论这个问题。关于爱因斯坦引力理论与牛顿引力理论是否能渐进一致的一般性讨论见最后一章，下文引入的变换实际上是非常别扭的，但也只能如此。
考虑到度规（10）式中的常数?具有长度量纲，因此可令??b。由于我们总有cos2??0，但却可能有0.5?2.75sin2???0，故一般而言0.5?2.75sin2???cos2?，因此就有r?r?。但可以令
????，代入上式得：
1b2cos2??1b2(0.5?2.75sin2??)?? ? （23）
rr?r3r?3从上式可以得到r和r?之间的变换关系，令A?b2cos2??，B?b2(0.5?2.75sin2??)，解上式三次方程可知，由于r???b，上式唯一的实数解是：
122?31?1i2???(B?r)?4r?6?A(B?r?)? 33/23r?2Ar?2Ar??4r?6?A(B?r?)?
?122?3i?12?(B?r)? ??32A3/2r?3?2Ar? ??a?ib?1/3??a?ib?1/3 ?2Qcos??/3? （24）
式中a?(B?r?2)/(2Ar?3)，b?4r?6?A(B?r?2)2/(2A3/2r?3)，Q?(a2?b2)1/6，tg(b/a)??.从上式我们就得到r?r?r?,???，以及 dr?drdr dr??d???T(r?,??)dr??V(r?,??)d?? （25）
dr?d??但T(r?,??) 和 V(r?,??) 的具体形式不重要，这里就不再写出。代入（10）式，就可以得到细圆环
5
的引力场方程解，该解具有（2）式的形式：
2???2222?r??1b2?bsin??? ds2????2?2?2?22222?2???r?bcos??rr(r?bcos??)??????16?bsin?'2?rb2?bsin??2 ?2????dt? ?2222222222??(r?bcos?)?r?bcos?rr(r?bcos?)??2222221?2r2?b2cos2??2r2?b2cos2??2 ?2T(r?,??)dr??22T(r?,??)V(r?,??)dr?d?? 22r?b?2?rr?b?2?r??b2?r2r2?bcos2??V2(r?,??)?222? ????r?d?? 2?1?r2cos?'?r'2?r2?b2?2?b?r?????? ?r2r?22???2?rb2abrsin?'?16?bsin??? 2???????22222222?2222???r?bcos?'rr(r?bcos?)(r?bcos?)?????22222221?22?rb22?b2sin2???222 ?2?2??r?sin??d?? （26） 22222r?bcos??rr(r?bcos??)?其中r?r(r?,??)。由于（24）和（26）式太复杂，为简单起见，我们直接从（23）式出发来讨论细r?和r具有相同的坐标原点。圆环引力场的性质。可知当r??0时r?0，由此r??0时就有g00??，
g22??，g33??。结果表明在圆环中心出现空间曲率奇点，奇点附近的空间也是高度弯曲的。
不论细圆环的质量与大小怎样，情况都是如此。而且这个奇点完全暴露在真空中，不象施瓦西球对称解那样，奇点隐藏在高密度或大质量的中心，不可直接观测，以至于人们似乎能容忍它们的存在。但细圆环引力场中出现的这种奇点显然是荒谬的，违背常识而不可接受的。
此外还可以证明在细圆环表面附近的空间也是高度弯曲的。事实上由于???b，作为近似估计，我们可以令??0。在细圆环的环面附近可以取????/2，得：
?r2r2V2(r?,??)?22r222 ds?dt??2T(r?,??)dr???2?22r?d?? 2???r?b2rr(r?b)??22?r2b2?222r22? ?? ?r?2?r?2?r?sin??d???r?(r2?b2)T(r?,??)V(r?,??)r?dr?d?? （27）
??若取b?0.67，（23）式变为：
r?3111 ??3 或 r?2 （28）
?r?1rr?r?r?4?3r?2 T?r?,????2 V(r?,??)?0 （29） 2(r??1)???0.10，在细圆环的环面附近可令r??b?0.67，则r?0.21，T?1.07，代入（27）式可求得g11???0.10，g33???1.10。可见空间高度弯曲，结果与事际情况完全不符。对于这样的弱引力场，g22
6
??g22??g33???1。由于这是一个可以直接细圆环环面附近的空间应当是几乎平坦的，我们应当有g11测量的量，因此可以说对于细圆环质量分布问题，爱因斯坦引力场方程是完全不适用的。而按牛顿理论（13）式，在r??0的环中心点引力势是个有限值，为：
? ???2G?d???2?G???0?GM （30） b因此在环中心点引力为零，与实际一致。由此可见，为了确定爱因斯坦引力场方程解的积分常数，我们必须在r??的弱场中令爱因斯坦引力理论的结果与牛顿引力理论的结果渐近等价。否则由于爱因斯坦理论与牛顿理论无法比较，就无法确定爱因斯坦引力理论是否有效。但在细圆环质量静态轴对称分布问题中，按爱因斯坦引力理论，在细圆环中心的真空点空间曲率出现无穷大，使得爱因斯坦引力理论变得没有意义。在细圆环中心和环面附近，按爱因斯坦引力理论空间也是高度弯曲的，所有这些都与实际情况完全不符。另外在（19.26）式中令r2?b2?2?r?0，得r????2?b2。对于弱场取M?1公斤，则??GM/c2?7.41?10?28米，???b。故r就不是实数,（19.26）式中由r2?b2?2?r?0决定的第二个奇点一般不存在。
以下讨论圆环截面不可忽略时的情况。此时引力场还与圆环截面半径有关，是三参数轴对称引力场。另我们知道克尔-纽曼度规是三参数轴对称度规?2?，目前用它来描述匀速转动带电球体外部引力场。如果爱因斯坦引力场方程三参数轴对称解是唯一的，通过坐标变换也应同样能用克尔-纽曼度规来描述圆环的引力场。按前述方式将克尔-纽曼度规对角化后，再令t??t，????，可得：
2???2222?2?r?Q1??2??sin???? ds2????2?2 222222?2???r??cos?rr(r??cos?)?????16??sin?2?r?Q?2??sin??2 ?2????dt ?(r??2cos2?)2?r2??2cos2?r2r(r2??2cos2?)??22222221?2??2r2??2cos2?22?2? ?2dr??1?2cos??rd?2 22?r???2?r?Qr??1?22???2222222??2?r?Q1?2??sin?16??sin?? ????2?? ???2?2222222222??2???r??cos?rr(r??cos?)?(r??cos?)?????2?r?Q2?22??2sin2??222 ?2 ?2??rsin?d? （31）22222r??cos?rr(r??cos?)?很明显在r???和r???时有： g0022?Q22??2cos2??1??2????? （32）
rrr3考虑到圆环截面积时，牛顿引力势的计算较复杂，本文不做详细计算，但通过简单的估计也能得出与细圆环情况类似的结果。设圆环的截面半径为h，h与圆环的长度相比不是很大，在r??b，
7
r??h时总可以将圆环的牛顿引力势写为：
???GMr?f1(??,b,h)f2(??,b,h)??1?????? ?? （33）r?r?2??当r??时保留到r?2次项，从以上两式和（11）式可得：
GMQ2GMf1(??,b,h)?2??? ? （34） rr?2rr?2令x?1/r，x??1/r?，从上式可以解出：
x?GM?(GM)2?2Q2(f1x?2?GMx?)Q2 （35）
代入（31）式就可求得圆环的度规。当x???时x??，即当r??0时r?0。因此从（31）式可以看出，在r?0时圆环中心的奇点仍然存在，而且也是暴露在真空中。圆环附近的空间也必将是高度弯曲的，情况与细圆环完全一样。
2. 双球体静态质量轴对称分布引力场
以下讨论质量双球体分布的引力场问题。如图2所示，两球的质量都为M，半径为b，球心分
别位于z轴的?b点。这也是双参数轴对称分布问题，其解应当也可以从克尔解通过坐标变换得到。对于此问题，牛顿引力势为：
???11 ???GM?1?1???GM???rr???222??1r?2?b2?2br?cos??r?b?2br?cos??? （36） ??当r???b时有：
2GM ???r?代入（11）式得：
?b2?3b2cos2???1?? （37） 2???2r??2?2??2cos2?4GM2GMb2(1?3cos2??)??1?? 1? （38） rr?r3r?3令??2GM，??b，????，得：
1b2cos2??1b2(1?3cos2??)?? ? （39）
rr?r32r?3上式与（23）式完全类似，令A?b2cos2??，B?b2(1?3cos2??)/2，可以得到类似的（24）和（25）式。代入（10）式就可以得到质量双球体分布的引力场度规，结果也由（26）式表示。同样由于（24）太复杂，我们实际上可以直接从（39）式出发来讨论。可知当r??0时r?0，同样有g00??，
g22??，g33??，以及当T?0，V?0时g23??。因此在两球的接触点出现空间曲率奇点。
设b?2，????/2，（39）式就变为：
r?3111 ??3 或 r?2 （40）
r??1rr?r?同样令M?1公斤，是极弱的引力场。在（26）式中令??0，求得与（29）式类似的式子：
8
相关推荐：
loading