3.2
导数的运算
3．2.1&3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
[对应学生用书P42]
利用导数的定义可得x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2. 问题1：当n∈N＋时，y＝xn的导数公式是什么？ 提示：y′＝nxn1.
－
11-22问题2：当n＝时，(x)′＝x (x>0)成立吗？
22
x＋Δx－xΔyΔx1Δy11
提示：由＝＝＝，得y′＝lim＝＝
ΔxΔx2Δx→0Δx2x?x＋Δx＋x?Δxx＋Δx＋xx
-12111-2.所以(x)′＝x成立．
2
基本初等函数的导数公式表 y＝f(x) y＝C y＝xn(n为自然数) y＝xμ (x>0，μ≠0，μ为有理数) y＝ax(a>0，a≠1) y＝ex y＝logax (a>0，a≠1，x>0) y＝ln x y＝sin x y＝cos x y′＝f′(x) y′＝0 y′＝nxn1 －121 y′＝μxμ1 －y′＝axln_a y′＝ex 1y′＝ xln a1y′＝ xy′＝cos_x y′＝－sin_x
基本初等函数的导数公式的特点
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(1)常数函数的导数为零．
(2)有理数幂函数f(x)＝xα的导数依然为幂函数，且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去1.
(3)正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数． (4)指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数的自然对数．
[对应学生用书P42]
[例1] 求下列函数的导数． 14
(1)y＝5x；(2)y＝3；(3)y＝x3；(4)y＝lg x.
x
[思路点拨] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导． [精解详析] (1)y′＝(5x)′＝5xln 5； 1－－
(2)y′＝(3)′＝(x3)′＝－3x4；
x3?3
(3)y′＝(x)′＝(x)′＝x4＝；
444x
43341运用导数公式求函数导数 1
(4)y′＝(lg x)′＝.
xln 10
[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
3
1．若f(x)＝x，则f′(1)等于( ) A．0 C．3
21B．－ 31D. 3
11?3111
解析：∵f′(x)＝(x)′＝x＝·2＝，
3333x33x21
∴f′(1)＝.
3答案：D
2．求下列函数的导数．
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(1)y＝x6；(2)y＝cos x； xx
(3)y＝x2x；(4)y＝2sincos.
22解：(1)y′＝(x6)′＝6x5； (2)y′＝(cos x)′＝－sin x； (3)y′＝(x
25
x)′＝(x·x)′＝(x)′＝x2；
2
2
12523(4)∵y＝sin x，∴y′＝cos x.
1
[例2] (12分)已知曲线y＝3在点P(－1，－1)处的切线与直线m平行且距离等于10，
x求直线m的方程．
3
[精解详析] 因为y′＝－4，
x
所以曲线在点P(－1，－1)处的切线斜率为k＝－3， 则切线方程为y＋1＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋4＝0.
设直线m的方程为3x＋y＋b＝0(b≠4)， 所以
|b－4|
＝10，所以|b－4|＝10， 32＋12
(8分)
(6分)
(3分)
导数公式的应用 所以b＝14或b＝－6，
所以直线m的方程为3x＋y＋14＝0或3x＋y－6＝0. (12分)
[一点通] 求曲线的切线方程一般有下列两种情况：一是求曲线在点P处的切线方程，这时P点在曲线上，且P一定为切点．二是求过点P与曲线相切的直线方程，这时P点不一定在曲线上，不一定为切点．做题时，一定要仔细读懂题意，分清所求切线方程为哪种情况，以便于找准正确的解题思路．
π3
3．设曲线y＝cos x在点A?，?处的切线倾斜角为θ，求tan θ的值．
?62?解：∵y＝cos x，∴y′＝－sin x. π1
∴在点A处切线斜率为k＝－sin＝－. 621
∴tan θ＝－.
2
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4．过点A(0，－1)作抛物线y＝x2的切线．求切点P的坐标和切线方程． 解：设点P(x0，x20)，则y′|x＝x0＝2x0. 切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)． 又A(0，－1)在切线上，
22∴－1－x20＝－2x0，x0＝1.
当x0＝1时，点P的坐标为(1,1)． 切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 当x0＝－1时点P的坐标为(－1,1)． 切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即y＝－2x－1.
1．熟记导数公式表，必要时先化简再求导．
12．导数公式表中(ax)′＝axln a与(logax)′＝较易混淆，要区分公式的结构特征，
xln a找出它们之间的差异去记忆．
3．直线与曲线相切时，切点是直线与曲线的公共点，切线的斜率是曲线对应的函数在切点处的导数．
[对应课时跟踪训练?十七?]
1．给出下列结论：
ππsin?′＝cos； ①(cos x)′＝sin x； ②??3?31－111
③若y＝2，则y′＝－； ④??′＝ .
xx?x?2xx其中正确的个数是( ) A．0 C．2
解析：(cos x)′＝－sin x，所以①错误； π33
sin＝，而??′＝0，所以②错误； 32?2?B．1 D．3
?12?′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误； ?x?131?1?′＝??1?， 2′＝－x－＝－?x?22?x?2xx所以④正确． 答案：B
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