【答案】?【解析】 【分析】
?7?27?2?,? 33??uuuruuur由角平分线成比例定理推理可得AQ?2PQ，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方
程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径. 【详解】
由题可构建如图所示的图形，因为AQ是?ACP的角平分线，由角平分线成比例定理可知
uuuruuurACAQ2???AQ?2PQ,所以AQ?2PQ. APPQ1uuuruuur设点Q?m,n?，点P?x,y?，即AQ?m?3,n,PQ??x?m,y?n?，
??则m?3,n?2?x?m,y?n?，
???3m?3x????m?3?2?x?m??2??. 所以?n?2y?n????y?3n??2?22又因为点P是圆C:x?(y?1)?1上的动点，
?3m?3??3n3?2242?(?1)?1?m??(n?)?， 则????????223?39????32?2M,故点Q的运功轨迹是以?为圆心为半径的圆， ??33?3??又m2?n2即为该圆上的点与原点间的距离， 因为dMO22?3??2?27272722，所以??m?n?? ???????3??33333???3?2
?7?27?2?,故答案为：?? 33??【点睛】
本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题.
16．已知?an?为等差数列，Sn为其前n项和，若a1?6，a3?a5?0，则S6=_______. 【答案】1 【解析】
试题分析：因为?an?是等差数列，所以a3?a5?2a4?0，即a4?0，又a4?a1?3d??6，所以d??2，所以S6?6a1?15d?6?6?15?(?2)?6．故答案为1． 【考点】等差数列的基本性质 【名师点睛】在等差数列五个基本量
，
，，
，
中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结
合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知函数f?x??sinx，g?x??x?cosx?sinx. x（Ⅰ）判断函数g?x?在区间?0,3??上零点的个数，并证明；
（Ⅱ）函数f?x?在区间?0,3??上的极值点从小到大分别为x1，x2，证明：f?x1??f?x2??0 【答案】（Ⅰ）函数g?x?在区间?0,3??上有两个零点.见解析（Ⅱ）见解析 【解析】
【分析】
g??x??cosx?xsinx?cosx??xsinx，（Ⅰ）根据题意，利用导函数研究函数的单调性，分类讨论g?x?在区间?0,3??的单调区间和极值，进而研究零点个数问题； （Ⅱ）求导，f??x??出f?x1??f?x2??xcosx?sinx，由于f?x?在区间?0,3??上的极值点从小到大分别为x1，x2，求2xsinx1sinx2??cosx1?cosx2，利用导数结合单调性和极值点，即可证明出x1x2f?x1??f?x2??0.
【详解】
解：（Ⅰ）Qg?x??x?cosx?sinx，
?g??x??cosx?xsinx?cosx??xsinx，
当x??0,??时，Qsinx?0，?g??x??0，
?g?x?在区间?0,??上单调递减，g?x??g?0??0， ?g?x?在区间?0,??上无零点；
当x???,2??时，Qsinx?0，?g??x??0
?g?x?在区间??,2??上单调递增，g???????0，g?2???2??0 ?g?x?在区间??,2??上唯一零点；
当x??2?,3??时，Qsinx?0，?g??x??0，
?g?x?在区间?2π,3π?上单调递减，g?2???2??0，g?3????3??0； ?g?x?在区间?2π,3π?上唯一零点；
综上可知，函数g?x?在区间?0,3??上有两个零点. （Ⅱ）Qf(x)=sinxxcosx?sinx，?f??x??， xx2由（Ⅰ）知f?x?在?0,??无极值点；
在??,2??有极小值点，即为x1；在?2?,3??有极大值点，即为x2， 由xncosxn?sinxn?0，即xn?tanxn，n?1，2…
Qx2?x1，?tanx2?tan?x1???，
Qg????0，g??3??x1???,2??3??2??5???1?0gg2??0，，??????2??， ????0，以及y?tanx的单调性， ?5???x?2?,，2??2??5??Qx2，x1????2?,2?得x2?x1??，
5???y?tanx2?,，由函数在??2????单调递增， ??f?x1??f?x2????sinx1sinx2??cosx1?cosx2， x1x25?2??单调递减，得cosx2?cos?x1?????cosx1， ?由y?cosx在?2?,即cosx2?cosx1?0，故f?x1??f?x2??0. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式，考查转化思想和计算能力.
18．已知函数f?x??e?ax，g?x??elnx.
xx（1）若对于任意实数x?0，f?x??0恒成立，求实数a的范围；
（2）当a??1时，是否存在实数x0??1,e?，使曲线C：y?g?x??f?x?在点x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）??e,???；（2）不存在实数x0??1,e?，使曲线y?M?x?在点x?x0处的切线与y轴垂直. 【解析】 【分析】
exex（1）分类x?0时，恒成立，x?0时，分离参数为a??，引入新函数H(x)??，利用导数求得
xx函数最值即可；
（2）M?x??f(x)?g(x)?elnx?e?x，导出导函数M?(x)，问题转化为M?(x)?0在[1,e]上有解．再
xx用导数研究M(x)的性质可得． 【详解】
解：（1）因为当x?0时，f?x??e?ax?0恒成立，
x所以，若x?0，a为任意实数，f?x??e?ax?0恒成立.
x
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