【答案】?【解析】 【分析】
?7?27?2?,? 33??uuuruuur由角平分线成比例定理推理可得AQ?2PQ,进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标,代入圆C方
程即可表示动点Q的轨迹方程,再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离,所以其最值为圆心到原点的距离加减半径. 【详解】
由题可构建如图所示的图形,因为AQ是?ACP的角平分线,由角平分线成比例定理可知
uuuruuurACAQ2???AQ?2PQ,所以AQ?2PQ. APPQ1uuuruuur设点Q?m,n?,点P?x,y?,即AQ?m?3,n,PQ??x?m,y?n?,
??则m?3,n?2?x?m,y?n?,
???3m?3x????m?3?2?x?m??2??. 所以?n?2y?n????y?3n??2?22又因为点P是圆C:x?(y?1)?1上的动点,
?3m?3??3n3?2242?(?1)?1?m??(n?)?, 则????????223?39????32?2M,故点Q的运功轨迹是以?为圆心为半径的圆, ??33?3??又m2?n2即为该圆上的点与原点间的距离, 因为dMO22?3??2?27272722,所以??m?n?? ???????3??33333???3?2
?7?27?2?,故答案为:?? 33??【点睛】
本题考查与圆有关的距离的最值问题,常常转化到圆心的距离加减半径,还考查了求动点的轨迹方程,属于中档题.
16.已知?an?为等差数列,Sn为其前n项和,若a1?6,a3?a5?0,则S6=_______. 【答案】1 【解析】
试题分析:因为?an?是等差数列,所以a3?a5?2a4?0,即a4?0,又a4?a1?3d??6,所以d??2,所以S6?6a1?15d?6?6?15?(?2)?6.故答案为1. 【考点】等差数列的基本性质 【名师点睛】在等差数列五个基本量
,
,,
,
中,已知其中三个量,可以根据已知条件,结
合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量,计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知函数f?x??sinx,g?x??x?cosx?sinx. x(Ⅰ)判断函数g?x?在区间?0,3??上零点的个数,并证明;
(Ⅱ)函数f?x?在区间?0,3??上的极值点从小到大分别为x1,x2,证明:f?x1??f?x2??0 【答案】(Ⅰ)函数g?x?在区间?0,3??上有两个零点.见解析(Ⅱ)见解析 【解析】
【分析】
g??x??cosx?xsinx?cosx??xsinx,(Ⅰ)根据题意,利用导函数研究函数的单调性,分类讨论g?x?在区间?0,3??的单调区间和极值,进而研究零点个数问题; (Ⅱ)求导,f??x??出f?x1??f?x2??xcosx?sinx,由于f?x?在区间?0,3??上的极值点从小到大分别为x1,x2,求2xsinx1sinx2??cosx1?cosx2,利用导数结合单调性和极值点,即可证明出x1x2f?x1??f?x2??0.
【详解】
解:(Ⅰ)Qg?x??x?cosx?sinx,
?g??x??cosx?xsinx?cosx??xsinx,
当x??0,??时,Qsinx?0,?g??x??0,
?g?x?在区间?0,??上单调递减,g?x??g?0??0, ?g?x?在区间?0,??上无零点;
当x???,2??时,Qsinx?0,?g??x??0
?g?x?在区间??,2??上单调递增,g???????0,g?2???2??0 ?g?x?在区间??,2??上唯一零点;
当x??2?,3??时,Qsinx?0,?g??x??0,
?g?x?在区间?2π,3π?上单调递减,g?2???2??0,g?3????3??0; ?g?x?在区间?2π,3π?上唯一零点;
综上可知,函数g?x?在区间?0,3??上有两个零点. (Ⅱ)Qf(x)=sinxxcosx?sinx,?f??x??, xx2由(Ⅰ)知f?x?在?0,??无极值点;
在??,2??有极小值点,即为x1;在?2?,3??有极大值点,即为x2, 由xncosxn?sinxn?0,即xn?tanxn,n?1,2…
Qx2?x1,?tanx2?tan?x1???,
Qg????0,g??3??x1???,2??3??2??5???1?0gg2??0,,??????2??, ????0,以及y?tanx的单调性, ?5???x?2?,,2??2??5??Qx2,x1????2?,2?得x2?x1??,
5???y?tanx2?,,由函数在??2????单调递增, ??f?x1??f?x2????sinx1sinx2??cosx1?cosx2, x1x25?2??单调递减,得cosx2?cos?x1?????cosx1, ?由y?cosx在?2?,即cosx2?cosx1?0,故f?x1??f?x2??0. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值,通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式,考查转化思想和计算能力.
18.已知函数f?x??e?ax,g?x??elnx.
xx(1)若对于任意实数x?0,f?x??0恒成立,求实数a的范围;
(2)当a??1时,是否存在实数x0??1,e?,使曲线C:y?g?x??f?x?在点x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)??e,???;(2)不存在实数x0??1,e?,使曲线y?M?x?在点x?x0处的切线与y轴垂直. 【解析】 【分析】
exex(1)分类x?0时,恒成立,x?0时,分离参数为a??,引入新函数H(x)??,利用导数求得
xx函数最值即可;
(2)M?x??f(x)?g(x)?elnx?e?x,导出导函数M?(x),问题转化为M?(x)?0在[1,e]上有解.再
xx用导数研究M(x)的性质可得. 【详解】
解:(1)因为当x?0时,f?x??e?ax?0恒成立,
x所以,若x?0,a为任意实数,f?x??e?ax?0恒成立.
x
相关推荐: